Zestaw uzupełniający 1a, 2a i 3a
Najpopularniejsze zbiory zadań:
W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część pierwsza, Warszawa, PWN, 1975.
W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, część druga, Warszawa, PWN, 1975 (istnieją wydania późniejsze, jednotomowe).
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, Warszawa, PWN ,1974.
S. Białynicz, K. Zieliński, Zadania z matematyki wyższej, Warszawa, PWN, 1966.
G. N. Berman, Sbornik zadač po kursu matematičeskogo analiza, Moskva, Leningrad, Gosud. Izdat. Techniko-Teoreticz. Literatury, 1951.
Tylko dla ambitnych: L. D. Kudriavcev, A. D. Kutasov, W. I. Czechłow, M. I. Szabunin, Sbornik zadač po matematičeskomu analizu, I: Predeł. Niepreryvnost'. Differencirujemost'. Moskva, Nauka, 1984; II: Integrały. Rjady. Moskva, Nauka, 1986.
Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej
1. Uprościć wyrażenie .
2. Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nierówności:
c) |x|x+3
d) |x-2|
(…)
…'. Differencirujemost'. Moskva, Nauka, 1984; II: Integrały. Rjady. Moskva, Nauka, 1986.
Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej
1. Uprościć wyrażenie .
2. Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nierówności:
c) |x|>x+3
d) |x-2|<x+|x+1|
e) |x2-6x+5|≤x-2
f) x3+3x-4<|x3-1|
Odp. c) x∈(-∞;-3/2); d) x∈(1;+∞); e) ; f) .
Liczby zespolone
0) Wykazać met. algebr. lub trygonometr., że dwa zespol. pierw.kwadr. z liczby zespolonej w = a + bi, czyli rozw. równania z2 = w, wyrażają się wzorem , gdzie r=*w*= , zaś ε =+1, gdy b≥0; ε = -1, gdy b<0. Uwaga. Przy obliczaniu pierwiastków kwadratowych z liczb zespolonych niekiedy są przydatne tożsamości .
1) Korzystając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego, znaleźć wzory na Cn = cos x + cos 2x + ... + cos nx oraz Sn = sin x + sin 2x + ... + sin nx (wsk.: z=cos x + i sin x…
… (dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2):
a) (jest to szczególny - w przypadku liczb zespolonych - przypadek tzw. reguły równoległoboku, prawdziwej dla normy zdefiniowanej jako pierwiastek kwadratowy z iloczynu skalarnego wektora przez siebie);
b) c) d) (dosyć żmudne); we wszystkich przypadkach korzystać intensywnie z tego, że .
4) Obliczyć wszystkie wartości (wsk.: wykorzystać wzory połówkowe, fakt, że 17/12 π…
…; obliczyć Cn+iSn = z + z2 + ... + zn i wyodrębnić część rzeczywistą i część urojoną tego wyrażenia).
Uwaga. Dla ułatwienia rachunków można doprowadzić zn+1-z oraz z-1 do postaci zbliżonej do trygonometrycznej). 2a*) Rozkładając wielomian x2n+1-1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn .
b) Rozkładając wielomian x2n+1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn .
3) Wykazać prawdziwość tożsamości…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)