WYKŁAD 1 - STRUKTURA ALGEBRAICZNA I LICZBY ZESPOLONE
Definicja (działanie wewnętrzne, struktura algebraiczna)
Działaniem wewnętrznym dwuargumentowym określonym (wykonalnym) w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję Przyjmujemy oznaczenie: Niepusty zbiór A z określonym działaniem wewnętrznym nazywamy strukturą algebraiczną i oznaczamy . Definicja (grupa)
Strukturę nazywamy grupą jeśli jednocześnie zachodzą warunki:
- łączność
- istnienie elementu neutralnego
- istnienie elementu symetrycznego (a')
Jeśli ponadto zachodzi
- przemienność
to nazywamy grupą przemienną (inaczej grupą abelową).
Definicja (pierścień)
Jeśli w zbiorze są określone dwa dwuargumentowe działania oraz , ponadto jest grupą przemienną i zachodzi - łączność działania - rozdzielność działania względem to nazywamy pierścieniem.
Definicja (ciało)
Ciałem nazywamy pierścień w którym zachodzi ponadto
- istnienie elementu neutralnego działania - istnienie elementu symetrycznego ( )
- przemienność działania Przyjęte są następujące oznaczenia i terminologia
Symbol
Oznaczenie
Określenie
+
dodawanie
mnożenie
e
0
element zerowy
e'
1
jedność
a'
-a
element przeciwny do a
element odwrotny do a
Twierdzenie
Ciało zawiera co najmniej dwa elementy ( ). W ciele Rozważmy ciało . Przyjmijmy, że . Wtedy rozwiązaniem równania są liczby urojone i oraz -i. Definicja (ciało liczb zespolonych)
Ciałem liczb zespolonych nazywamy zbiór liczb postaci z dodawaniem + i z mnożeniem .
Uwaga
Twierdzenie
Ciało jest to najmniejsze ciało (w sensie inkluzji) zawierające ciało oraz liczbę urojoną i
Definicja (ciało liczbowe)
Ciało oraz każdy podzbiór C, który ze względu na działania + i jest ciałem (podciało) nazywamy ciałem liczbowym.
Twierdzenie Najmniejszym ciałem liczbowym w sensie inkluzji jest ciało liczb wymiernych . Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry)
(…)
… jeśli istnieje funkcja odwzorowująca wzajemnie jednoznacznie jedną strukturę na drugą zachowująca wszystkie działania.
Definicja (przestrzeń liniowa)
Niech będzie ciałem liczbowym oraz będzie grupą przemienną z pewnym działaniem . Określmy ponadto działanie zewnętrzne takie, że:
Wówczas strukturę nazywamy przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem K. Elementy zbioru V nazywamy wektorami a elementy zbioru K…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)