Struktura algebraiczna- zbiór złożony ze skończonej ilości odwzorowań iloczynów kartezjańskich tych zbiorów w te zbiory; A,B,C-zbiory;f:A×B→C;×-iloczyn kartezjański
Grupa- struktura algebraiczna (G,Δ) złożona z niepustego zbioru G oraz z odwzorowania Δ: G×G→G spełniającego aksjomaty:
-łączność G1 -element neutralny
G2 -element odwrotny do neutralnego
G3 Jeżeli grupa (G,Δ) spełnia dodatkowy warunek: przemienność
G4 to nazywamy ją abelową(przemienną).
Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (K,+, ) gdzie:
+ : KxKK
• : KxKK
są odwzorowaniami spełniającymi następujące aksjomaty:
C1: (K,+) jest grupą abelową (przemienną);
C2: (K\{0},•) jest grupą abelową gdzie 0 jest elementem neutralnym działania +
C3: α•(β+γ)=(α•β)+(α•γ)→rozdzielność działania drugiego względem pierwszego.Przukłady:
a)(Q;+;•)-ciało liczb wymiernych
b)(R;+;•)-ciało liczb rzeczywistych
c)({a+b ;a,bϵQ};+;•)
Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem K nazywamy strukturę algebraiczną (V,+; K,+,•; •) taką że: PW1 (V,+)-jest grupą abelową
PW2 (K,+,•)-jest ciałem(przemiennym) oraz ostatnie działanie •zwane mnożeniem jest działaniem K×V→V o własnościach α,βϵK oraz V,ωϵV
PW3 (α+β)*V=(αV)+(βV)
α*(V+ω)=(αV)+(αω)
PW4 α*(β*V)=(α*β)*V
PW5 1*V=V-neutralność jedynki
Wektory tworzące zbiór{Vi}iϵI nazywamy liniowo niezależnymi gdy dla każdej kombinacji liniowej zachodzi implikacja ( = =0.Wektory, które nie są liniowo niezależne są liniowo zależne.
Liniowo zależne: ^ k1* +k2* = )
Liniowo niezależne: k1* +k2* = =k1=k2=0)
Macierzą nad ciałem K o wymiarach m×n nazywamy rodzinę ( ),(ij)ϵ{1,…,m}×{1,…,n} elementów z K.Taka rodzina jest elementem zbioru Map({1,…,m}×{1,…,n},K).Macierz zapisujemy tradycyjnie w postaci tablicy lub oznaczamy w skrócie ( .Zbiór macierzy nad ciałem K o wymiarach m×n oznaczać będziemy przez .Zbiór wszystkich macierzy oznaczać będziemy przez M(K).Zbiór ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej nad K.
Śladem macierzy A=(αij)ϵMm×n(K) nazywamy liczby tr(A)= (tr(A) jest funkcją liniową)
Rzędem macierzy nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn.
Endomorfizmem nazywamy homomorfizm grupy w siebie samą.
Niech (G,$),(H,#) będą grupami. Odwzorowanie f:GH nazywamy homomorfizmem grup jeżeli dla każdego g 1 ,g 2 є G f(g 1 #g 2 )=f(g 1 )$f(g 2 )
(…)
… liniowej V nad ciałem nazywamy odwzorowanie spełniające, dla dowolnych oraz , następujące warunki:
, ,
,
.
Parę nazywamy wówczas przestrzenią unormowaną.
Normą macierzową nazywamy normę przestrzeni lub , spełniającą dodatkowo warunek
dla wszelkich macierzy ( ). Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Poniżej oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy, czyli transpozycję jej trywialnego…
… przekształcenia liniowego , to taki wektor , dla którego istnieje taka wartość λ, że zachodzi równość:
.
Wartość nazywamy wartością własną macierzy lub przekształcenia.
Wartości własne macierzy są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego:
gdzie oznacza macierz jednostkową, macierz charakterystyczną, natomiast - wyznacznik macierzy charakterystycznej czyli wielomian charakterystyczny. Znając wartości własne można obliczyć odpowiadające im wektory własne rozwiązując następujące równania:
ze względu na wektor .
Własności Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
Jeśli macierz A potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej V, to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
Jeśli suma wymiarów…
…, •) będą grupami.Odwzorowanie f:G→H nazywamy homomorfizmem grup jeżeli
g2)=f(g1•g2)
-bijektywny homomorfizm grup nazywamy izomorfizmem
-homomorfizm grupy w siebie nazywamy endomorfizmem -bijektywny endomorfizm nazywamy automorfizmem
Przestrzenią unitarną (p.u) nad K jest struktura algebraiczna (V,(•|•)) gdzie V jest przestrzenią wektorową nad ciałem K a to odwzorowanie jest odwzorowaniem V×V (v,ω)→(v|ω)ϵK zwanym iloczynem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)