Przekształcenia liniowe-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 455
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Przekształcenia liniowe-opracowanie - strona 1 Przekształcenia liniowe-opracowanie - strona 2 Przekształcenia liniowe-opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Przekształcenia liniowe
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K . Funkcję
przekształceniem liniowym, jeżeli spełnione są następujące warunki:
f :V → W nazywamy

f (v
+ v ) =
f (v ) + f (v ) ,
v1 , v2 ∈V
1 2 1 2
∀α ∈K ∀v∈V f (αv) = α f (v) .
Uwaga: Warunki 1) i 2) można zastąpić jednym warunkiem:
∀α , β ∈K ∀v , v ∈V f (αv1 + β v2 ) = α f (v1) + β f (v2 ) . Macierz przekształcenia liniowego
Niech
f :V → W
będzie przekształceniem liniowym,
B = (v1,v2 ,…,vn )
będzie bazą
przestrzeni V , a
C = (w1, w2 ,…, wm )
bazą przestrzeni W . Macierzą przekształcenia f
B
w bazach B i C nazywamy macierz
C [ f ], której kolejne kolumny są współrzędnymi
wektorów
f (v1), f (v2 ),…, f (vn )
w bazie C , tzn.
f (v1 )
f (v2 ) …
f (vn )
↓ ↓ . ↓
w1 ←  a11
a12 …
a1n 
B
C [ f ] =
w2 ←

 a21
a22 …

2n   
 
Schematycznie
wm ← am1
am2 …
amn 
B
C [ f ]
Macierz przejścia z bazy do bazy
Niech B = (v1,v2 ,…,vn )
B
i C = (w1, w2 ,…, wn )
będą bazami przestrzeni V . Macierz
C [id ]
nazywamy macierzą przejścia z bazy C do bazy B i oznaczamy przez
PC→B . Zatem
kolumnami macierzy
PC→B
są współrzędne kolejnych wektorów bazy B w bazie C , tzn.
v1 v2 … vn
↓ ↓ . ↓
w1 ←  a11
a12 …


(…)

… w ,,nowej'' bazie, mnożymy macierz odwrotną do macierzy przejścia ze ,,starej'' bazy do ,,nowej'' przez współrzędne wektora v w
,,starej'' bazie.
Macierz złożenia przekształceń liniowych
Niech
f :V → W
i g :W → U
będą przekształceniami liniowymi, B - bazą przestrzeni V ,
C - bazą przestrzeni W , a D - bazą przestrzeni U :
f g
V W U
B C D
Wtedy
g o f
B C B
D [g o f ] = D [g ]
C [ f ]
Schemat:
B C B
D [g o
f…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz