To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
ulamki proste
Definicja. Funkcj¸ wymiern¸ rzeczywist¸ (zespolon¸) nazywamy iloraz dw´ch wieloa
a
a
a
o
mian´w rzeczywistych (zespolonych) taki, ze dzielnik nie jest wielomianem zerowym, tzn.
o
˙
funkcja wymierna rzeczywista (zespolona) ma posta´ ulamka
c
W
,
V
gdzie W i V s¸ wielomianami rzeczywistymi (zespolonymi) oraz V = 0.
a
Oczywi´cie, ka˙ da funkcja wymierna rzeczywista jest tak˙ e funkcj¸ wymiern¸ zespolon¸.
s
z
z
a
a
a
Przyklad. a)
b)
√
5x4 −2 3x3 + 2 x−3
7
5x2 −4x+3
z 3 +(1+5i)z 2 −3+i
2iz 6 −3z 5 +(2−5i)z 3 +1
jest funkcj¸ wymiern¸ rzeczywist¸ (i zespolon¸).
a
a
a
a
jest funkcj¸ wymiern¸ zespolon¸.
a
a
a
Definicja. Funkcj¸ wymiern¸ W , gdzie W i V s¸ wielomianami, nazywamy funkcj¸
e
a V
a
a
wymiern¸ wla´ciw¸ je˙ eli stopie´ wielomianu W jest mniejszy od stopnia wielomianu V .
a
s a z
n
Przyklad. Funkcje wymierne
2x3 − 6x2 + 7x − 3
z 2 − (1 − 2i)z + 3
i
8x5 + 4x4 − 2x3 + x − 3
iz 7 + 5z 6 − (1 + i)z 2 + 3z − 2
s¸ wla´ciwe, a funkcje wymierne
a
s
√
5x4 − 2 3x3 + 2 x − 3
3iz 7 − 2z 5 + (2 − 5i)z 2 + 4
7
i
5x2 − 4x + 3
z 3 − (1 − 5i)z 2 − 2 + i
nie s¸ wla´ciwe.
a
s
Twierdzenie. Ka˙ da funkcja wymierna jest sum¸ wielomianu i funkcji wymiernej wla´ciwej.
z
a
s
Przyklad. Aby funkcj¸ wymiern¸
e
a
6x4 + 4x3 − 12x2 + 9x − 2
2x2 + 2x − 4
przedstawi´ w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej wla´ciwej, dzielimy licznik funkcji
c
s
(∗) przez jej mianownik. W wyniku dzielenia otrzymujemy:
(∗)
6x4 + 4x3 − 12x2 + 9x − 2 = (2x2 + 2x − 4)(3x2 − x + 1) + 3x + 2.
Zatem
(2x2 + 2x − 4)(3x2 − x + 1) + 3x + 2
6x4 + 4x3 − 12x2 + 9x − 2
=
=
2x2 + 2x − 4
2x2 + 2x − 4
3x + 2
= 3x2 − x + 1 +
.
2 + 2x − 4
2x
wielomian
f unkcja wymierna
wla´ciwa
s
Definicja
1. Zespolonym ulamkiem prostym nazywamy zespolon¸ funkcj¸ wymiern¸ postaci
a
e
a
A
, gdzie A, a ∈ C i n ∈ N.
(z + a)n
2. Rzeczywistym ulamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywist¸ funkcj¸
a
e
wymiern¸ postaci
a
A
, gdzie A, a ∈ R i n ∈ N.
(x + a)n
3. Rzeczywistym ulamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywist¸ funkcj¸ wymiern¸
a
e
a
postaci
Ax + B
, gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i ∆ = p2 − 4q
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)