Pierścienie wielomianów

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 966
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pierścienie wielomianów - strona 1 Pierścienie wielomianów - strona 2 Pierścienie wielomianów - strona 3

Fragment notatki:


P I I I E R S S S C I I I E N I I I E W I I I E L O M I I I A N O W np. Niech F, G : Z /5 → Z /5 F(x) = 4x 5 + 2x 2 + 3x G(x) = 2x 2 + 2x Wtedy F(0) = 0 = G(0) F(1) = 4 = G(1) F(2) = 2 = G(2) F(3) = 4 = G(3) F(4) = 0 = G(4) Zatem F = G DEF ( ( (w i i i e e e l l l o o om i i i a a a n n n ) ) ) : : : Wielomianem o współczynnikach z pier ś cienia A nazywamy dowoln ą fukcj ę f: N  {0} → A równ ą zero dla prawie wszystkich argumentów. Je ś li f  0 to niech: deg(f) = max{n  N  {0} : f(n)  0} natomiast dla f = 0 deg(f) = -  f(n) - „ współczynnik przy k - tej pot ę dze” Dla deg(f) = m ≥ 0 f(m) - „współczynnik przy najwy Ŝ szej pot ę dze” „ wielomian stały” - f takie, Ŝ e deg(f)  0 „ wielomian liniowy” - f takie, Ŝ e deg(f) = 1 „ wielomian kwadratowy” - f takie, Ŝ e deg(f) = 2 Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z A oznaczamy A[x] Dla f, g  A[x] okre ś lamy f + g, f + g  N  {0} → A (f + g)(n) = f(n) + g(n) (f  g)(n) =    n k f k g n k 0 ( ) ( ) S S S T T T W W : : : Suma i iloczyn dwu wielomianów s ą wielomianami. Mamy przy tym deg(f+g)  max(deg(f), deg(g)) deg(fg)  deg(f) + deg(g) Je Ŝ eli współczynnik przy najwy Ŝ szej pot ę dze wielomianu f nie jest dzielnikiem zera (lub je ś li f = 0 i nie ma współczynnika przy najwy Ŝ szej pot ę dze) to deg(fg) = deg(f) + deg(g) T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE . . . Zbiór wielomianów o współczynnikach z pier ś cienia A wraz z wpprowadzonymi działaniami jest pier ś cieniem. Je ś li A jest pier ś cieniem z jedynk ą , to równie Ŝ A[x] posiada jedynk ę - jest ni ą wielomian  : N  {0} → A    ≥   0 1 1 0 ( ) n n f n . Zbiór wielomianów stałych jest podpier ś cieniem A[x] izomorficznym z A . S S S T T T W W : : : Pier ś cie ń A[x] jest przemienny  A jest przemienny. Pier ś cie ń A[x] jest dziedzin ą całkowito ś ci  A jest dziedzin ą całkowito ś ci. DEF ( ( ( c c c i i i a a a ł ł ł o o o f f f u u u n n n k k k c c c j j j i i iw y y ym i i i e e e r r r n n n e e e j j j ) ) ) : : : Niech

(…)

…(((ODZZZIIIELLLENIIIUZZZRESSSZZZTTTĄ)))...
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką f, g  A[x], f,g0. JeŜeli współczynnik
przy najwyŜszej potędze wielomianu g jest elementem odwracalnym w A to istnieje dokładnie
jedna para q, r A[x] taka, Ŝe:
p = qg + r, deg(r) < deg(g)
DEF (((pppiiieeerrrwiiiaaasssttteeekkkwiiieeelllooomiiiaaannnuuu))):::
Niech f = a0 + a1x + … + anxn A[x], A - pierścień z jedynką. Wtedy a0 + a1a + … + anan,
dla a A nazywamy wartością wielomianu f w punkcie a i oznaczamy f(a)!
JeŜeli f(a) = 0 to a nazywamy pierwiastkiem f.
Mamy:
(f+g)(a) = f(a) + g(a)
(fg)(a) = f(a)g(a)
WNIOSEK (TW. BEZOUT'A)
Element a pierścienia przemiennego z jedynką A jest pierwiastkiem wielomianu fA[x] 
istnieje gA[x] takie, Ŝe f = (x - a)g
DEF: ::
Dla h, f A[x] (A - ciało)
mówimy, Ŝe h dzieli f (lub f jest podzielny…
…)
TTTWIIIERDZZZENIIIE...
Zbiór wielomianów o współczynnikach z pierścienia A wraz z wpprowadzonymi działaniami
jest pierścieniem. Jeśli A jest pierścieniem z jedynką, to równieŜ A[x] posiada jedynkę - jest
nią wielomian : N  {0} → A
  



0 1
1 0
( )
n
n
f n .
Zbiór wielomianów stałych jest podpierścieniem A[x] izomorficznym z A.
S SST TTWW: ::
Pierścień A[x] jest przemienny A jest przemienny.
Pierścień A[x…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz