To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 9 Interpolacja wielomianowa Niech K będzie pewnym ciałem i niech a 1 , a 2 , . . . , an, b 1 , b 2 , . . . , bn będą pewnymi elementami ciała K ( ai = aj dla i = j ). Zadanie jest następujące. Chcemy znaleźć wielomian f ( x ) ∈ K [ x ], taki że f ( a 1) = b 1 , f ( a 2) = b 2 , . . . , f ( an ) = bn Podamy teraz dwa sposoby konstrukcji takich wielomianów. I. Interpolacja Lagrange’a. Budujemy wyrażenia: fi ( x ) = ( x − a 1)( x − a 2) . . . ( x − ai− 1)( x − ai +1) . . . ( x − an ) ( ai − a 1)( ai − a 2) . . . ( ai − ai− 1)( ai − ai +1) . . . ( ai − an ) Można zauważyć, że fi ( ai ) = 1 i dla i = j , fi ( aj ) = 0. Wtedy naszym poszukiwanym wielomianem będzie: f ( x ) = b 1 f 1( x ) + b 2 f 2( x ) + . . . + bnfn ( x ) Przykład Wyznaczyć wielomian f ( x ) ∈ R[ x ], taki że f (1) = 2 , f (2) = − 1 , f (3) = 3 Korzystając z interpolacji Lagrange’a otrzymujemy: f ( x ) = 2 ( x− 2)( x− 3) ( − 1)( − 2) − ( x− 1)( x− 3) 1( − 1) + 3 ( x− 1)( x− 2) 2 · 1 = ( x − 2)( x − 3) + ( x − 1)( x − 3) + 3 2 ( x − 1)( x − 2) II. Interpolacja Newtona. Wielomian w tym przypadku budujemy następująco: f ( x ) = c 0 + c 1( x − a 1) + c 2( x − a 1)( x − a 2) + . . . + cn− 1( x − a 1) . . . ( x − an− 1) Wstawianie kolejno za x wartości a 1 , . . . , an i przyrównanie ich do b 1 , . . . , bn pozwoli nam jednoznacznie wyznaczyć wartości c 0 , . . . , cn− 1. Przykład Wyznaczymy tą metodą wielomian f ( x ), który spełnia te same własności co wielomian z poprzedniego przykładu. Nasz wielomian ma teraz postać: f ( x ) = c 0 + c 1( x − 1) + c 2( x − 1)( x − 2) Wstawiamy kolejno za x : 1 , 2 , 3 i otrzymujemy: f (1) = c 0 = 2 f (2) = c 0 + c 1 = − 1 f (3) = c 0 + 2 c 1 + 2 c 2 = 3 Rozwiązaniem tego układu jest c 0 = 2 , c 1 = − 3 , c 2 = 7 2 . To nam daje nasz wielomian. 1 Wniosek 1 Jeśli K jest ciałem skończonym to każda funkcja K → K może być zapisana jako wielomian. Kongruencje w pierścieniach wielomianów Niech K będzie dowolnym ciałem i niech K [ x ] oznacza pierścień wielo- mianów nad K . Niech f ( x ) ∈ K [ x ]. Rozważmy następującą relację. Jeśli g ( x ) , h ( x ) ∈ K [ x ] to: g ( x ) ∼f h ( x ) ⇐⇒ f ( x ) | ( g ( x ) − h ( x )) Relacja ∼f jest relacją równoważności w K [ x ]. Ponadto spełnia ona nastę- pujące własności:
(…)
… jest relacją równoważności w K[x]. Ponadto spełnia ona następujące własności:
g(x) ∼f h(x)
g1 (x) ∼f h1 (x)
⇒
(g(x) + g1 (x)) ∼f (h(x) + h1 (x))
g(x)g1 (x) ∼f h(x)h1 (x)
Relację tą nazywać będziemy relacją przystawania modulo f (x) lub kongruencją w pierścieniu K[x]. Podobnie jak dla analogicznych relacji w pierścieniu
liczb całkowitych, relacja przystawania pozwala nam wprowadzić działania
w zbiorze klas…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)