To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 7
Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że
f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) =
f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy:
f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x)
Przykład (2x + 1)|(6x2 − x − 2).
Własności podzielności wielomianów
(1) Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x), a wielomian g(x) dzieli wielomian h(x) to wielomian f (x) dzieli wielomian h(x), czyli:
f (x)|g(x) i g(x)|h(x) ⇒ f (x)|h(x)
(2) Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x) to st(f (x)) st(g(x))
Niech f (x) i g(x) będą wielomianami nad ciałem K. Wtedy wielomian
d(x) ∈ K[x] nazywamy największym wspólnym dzielnikiem wielomianów
f (x) i g(x) jeśli:
(i) d(x)|f (x) i d(x)|g(x),
(ii) jeśli c(x)|f (x) i c(x)|g(x) to st(c(x)) st(d(x)),
(iii) wielomian d(x) jest unormowany.
Największy wspólny dzielnik wielomianów f (x) i g(x) oznaczać będziemy
przez NWD(f (x), g(x)).
Podobnie jak w przypadku pierścienia liczb całkowitych, efektywną metodą wyznaczania największego wspólnego dzielnika dwóch wielomianów jest
wielomianowa wersja algorytmu Euklidesa. To znaczy jeśli chcemy wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów f (x) i g(x), przy założeniu,
że st(f (x)) st(g(x)) to stosujemy algorytm:
f (x) = q(x)g(x) + r(x) 0 st(r(x))
(…)
… − x2 + 1, x2 − 1 ∈ Q(x)
Jednym z zastosowań powyższego twierdzenia mogą być następujące przykłady.
√
√
Przykład Wyznaczyć liczby x, y, z ∈ Q, tak aby liczba x + y 3 2 + y 3 4 była
√
√
odwrotna do 1 + 3 2 + 2 3 4.
Przykład Wyznaczyć macierz odwrotną do A3 + A2 + A + I gdzie
A=
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−1
−1
−1
−1
.
Podobnie jak w teorii liczb możemy mówić o względnie pierwszych…
… za c przyjąć najmniejszą wspólną wielokrotność
mianowników współczynników an , . . . , a0 ). Zatem zamiast badać wielomian
f (x) można badać wielomian cf (x), który należy do pierścienia Z[x].
3
Twierdzenie 7 Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 będzie wielomianem z całkowitymi współrzędnymi. Wtedy jeśli liczba wymierna p jest
q
pierwiastkiem wielomianu f (x) to p|a0 , a q|an .
Przykład…
….
Przykład Wielomian f (x) = x4 − 7x3 + 49x2 − 14x + 7 jest nierozkładalny
nad ciałem Q. Wystarczy wziąć liczbę 7 i zastosować kryterium Eisensteina.
Twierdzenie 9 Dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje wielomian stopnia n o współczynnikach wymiernych, który jest nierozkładalny nad Q.
Nierozkładalność w ciałach R i C
Twierdzenie 10 Zasadnicze Twierdzenie Algebry Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych stopnia większego od 0 ma pierwiastek zespolony.
Każde ciało, które spełnia powyższy warunek nazywamy ciałem algebraicznie domkniętym. Powyższe twierdzenie mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Ciała Q i R nie są algebraicznie domknięte.
Wniosek 4 Wielomian f (x) ∈ C[x] jest nierozkładalny na ciałem C wtedy
i tylko wtedy gdy jego stopień jest równy 1.
Wniosek 5…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)