Wielomiany 1-3

Nasza ocena:

5
Pobrań: 84
Wyświetleń: 1400
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wielomiany 1-3 - strona 1 Wielomiany 1-3 - strona 2 Wielomiany 1-3 - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 10 Wielomiany cd. Niech  f  ( x ) , g ( x )  ∈ K [ x ] będą wielomianami nad ciałem  K . Wielomian d ( x )  ∈ K [ x ] nazywamy  największym wspólnym dzielnikiem  wielomia- nów  f  ( x ) i  g ( x ) jeśli: 1.  d ( x ) jest unormowany, 2.  d ( x ) |f  ( x ) i  d ( x ) |g ( x ), 3. jeśli  c ( x ) jest wielomianem, takim że  c ( x ) |f  ( x ) i  c ( x ) |g ( x ) to st c st d . Piszemy wtedy  d ( x ) = NWD( f  ( x ) , g ( x )). Jeśli  f  ( x ) =  q ( x ) g ( x ) +  r ( x ) to NWD( f  ( x ) , g ( x )) = NWD( g ( x ) , r ( x )). Algorytm Euklidesa  1 Niech st f   st g , wtedy możemy podzielić wielomian  f  przez  g  z resztą, a więc: f  ( x ) =  q ( x ) g ( x ) +  r ( x ) , 0 st r 

(…)

… =
ail blj .
l=1
Inaczej mówiąc element cij z i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy C powstaje przez wymnożenie i-tego wiersza [ai1 , ai2 , . . . , ain ] macierzy A przez


bj1


 bj2 
j-tą kolumnę  .  macierzy B. Mamy zatem:
 .

 .

bjn



cij = [ai1 , ai2 , . . . , ain ] · 


bj1
bj2
.
.
.



 = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj .


bjn
3
Przeanalizujmy mnożenie macierzy
… Rozłożyć wielomian x3 + 1 nad ciałem liczb rzeczywistych i nad
ciałem liczb zespolonych.
Rozwiązanie Liczba −1 jest pierwiastkiem wielomianu x3 + 1, zatem dwumian x + 1 dzieli x3 + 1. Mamy więc x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1). Wielomian
x2 − x + 1 jest nierozkładalny nad R bo nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Rozłóżmy go nad C. Obliczamy pierwiastki wielomianu x2 − x + 1:
∆ = 1 − 4 = −3,


∆=i 3
2…
… dzielnik wielomianów
x4 − x3 − x2 + 1, x2 − 1 ∈ Q(x)
Jednym z zastosowań powyższego twierdzenia mogą być następujące przykłady.


Przykład Wyznaczyć liczby x, y, z ∈ Q, tak aby liczba x + y 3 2 + y 3 4 była


odwrotna do 1 + 3 2 + 2 3 4.
Przykład Wyznaczyć macierz odwrotną do A3 + A2 + A + I gdzie




A=
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−1
−1
−1
−1



.

Podobnie jak w teorii liczb możemy mówić…
… całkowite (wystarczy za c przyjąć najmniejszą wspólną wielokrotność
mianowników współczynników an , . . . , a0 ). Zatem zamiast badać wielomian
f (x) można badać wielomian cf (x), który należy do pierścienia Z[x].
3
Twierdzenie 7 Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 będzie wielomianem z całkowitymi współrzędnymi. Wtedy jeśli liczba wymierna p jest
q
pierwiastkiem wielomianu f (x) to p|a0…
… o współczynnikach zespolonych stopnia większego od 0 ma pierwiastek zespolony.
Każde ciało, które spełnia powyższy warunek nazywamy ciałem algebraicznie domkniętym. Powyższe twierdzenie mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Ciała Q i R nie są algebraicznie domknięte.
Wniosek 4 Wielomian f (x) ∈ C[x] jest nierozkładalny na ciałem C wtedy
i tylko wtedy gdy jego stopień jest równy 1.
Wniosek…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz