PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K, ⊕, ⊗) X ≠ ∅, K - ciało ⊕ : X × X → X (⊕ to działanie wewnętrzne w zbiorze X) ⊗ : K × X → X (⊗ to działanie zewnętrzne w zbiorze X) Strukturę (X, K, ⊕, ⊗) nazywamy przestrzenią wektorową :⇔ 1) Struktura (X, ⊕) jest grupą abelową 2) ...
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim( U + W ) = dim U + dim W − dim( U ∩ W ) Rzeczywiście U ∩ W jest podprzetrzenią przestrzeni U i W , a więc U ∩ W jest skończenie wymiarowa. Przestrzeń U ∩ W p...
Wykład 2 Niech V będzie przestrzenią liniową i niech U , W będą podprzestrzeniami V wtedy będziemy mówić, że V jest sumą prostą przestrzeni U i V jeśli: 1. ...
Wykład 1 Przestrzenie liniowe W geometrii analitycznej w przestrzeni R 3 operowaliśmy wektorami. W zbiorze tych wektorów wprowadziliśmy dwa działania: ( x, y, z ) + ( x 1 , y 1 , z 1) = ( x + x 1 , y + y 1 , z + z 1) , k ( x,...
Wykład 8 Wzory na rozwiązywanie równań stopnia 2, 3, 4 w ciele C Wszystkie rozważane tu równania mają współczynniki zespolone. Jeśli rozważamy równanie az 2 + bz + c = 0 to znamy algorytm rozwiązy- wania tego równania. Rozważmy teraz równanie stopnia 3: az 3 + bz 2 + cz + d = 0. Pokaże...
Wykład 3 Struktury algebraiczne III. Struktury algebraiczne Strukturą algebraiczną nazywamy zbiór wraz z pewnymi działaniami w tym zbiorze. Strukturę algebraiczną zapisujemy wymieniając zbiór oraz dzia- łania np. (N , + , · ) jest strukturą algebraiczną złożoną z N i dwóch działań dodawania i mn...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1 , α 2 , . . . , αn, β ∈ K . Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + αnxn = β z niewiadomymi x 1 , x 2 , . . . , xn nazywamy
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Definicja 1. Układ równań liniowych to następujący układ: a11x1 + a12x2 + … + a1mxm = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2mxm = b2 ………………………………………………. ………………………………………………. an1x1 + an2x2 + … + anmxm = bn (1) ...
Wykład 8 Zadanie Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z 4 − (2 − i )4 = 0. Rozwiązanie Z twierdzenia o pierwiastkowaniu liczb zespolonych wynika, że równanie to ma dokładnie cztery rozwiązania (są to czwarte pierwiastki z licz...
Wykład 3 Twierdzenie 1 (Steinitz) Jeśli układ v 1 , v 2 , . . . , vn jest bazą przestrzeni li- niowej V nad ciałem K i układ wektorów u 1 , u 2 , . . . , um jest układem wekto- rów liniowo niezależnych w V to: (i) m n, (ii) jeśli m = n to u 1 , u 2 , . . . , um jest bazą przestrzeni V , (iii...
