PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K, ⊕, ⊗) X ≠ ∅, K - ciało ⊕ : X × X → X (⊕ to działanie wewnętrzne w zbiorze X) ⊗ : K × X → X (⊗ to działanie zewnętrzne w zbiorze X) Strukturę (X, K, ⊕, ⊗) nazywamy przestrzenią wektorową :⇔ 1) Struktura (X, ⊕) jest grupą abelową 2) x,y X α K: α (x y) (α x) (α y) ∀ ∈ ∀ ∈ ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗ 3) x) (β x) (α x β) (α x) (β α x β) α ( : X x K β α, ⊗ ⊕ ⊗ = ⊗ + ∧ ⊗ ⊗ = ⊗ ⋅ ∈ ∀ ∈ ∀ 4) x x X x = ⊗ ∈ ∀ 1 Elementy zbioru X nazywamy wektorami, a elementy ciała K – skalarami. Przyjmujemy umowę: wektorowa przestrzeń - X wektor - x Przykład 1 ( R 3, R , ⊕, ⊗) Definiujemy działania: R 3 ∋ (x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2) := (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) R ∋ α⊗ (x, y, z) := (α x, α y, α z) Sprawdzamy czy ( R 3, , ⊕, ⊗) jest przestrzenią wektorową. R Czy ( R 3, ⊕) jest grupą abelową? [(x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2)] ⊕ (x3, y3, z3) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ⊕ (x3, y3, z3) =(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2+y3), z1 + (z2 +z3)) = (x1, y1, z1) ⊕ [(x2, y2, z2) ⊕ (x3, y3, z3)] wniosek: działanie ⊕ jest łączne Z przemienności dodawania wynika przemienność działania ⊕. Elementem neutralnym działania ⊕ jest 0 =(0, 0, 0) Każdy element (x, y, z) posiada element przeciwny równy (-x, -y, -z) bo (x, y, z) ⊕ (-x, -y, -z) = (0, 0, 0) ∧ (-x, -y, -z) ⊕ (x, y, z) = (0, 0, 0) Więc struktura ( R 3, ⊕) jest grupą abelową. Pozostałe warunki łatwo sprawdzić. Wniosek: ( R 3, , ⊕, ⊗) – jest przestrzenią wektorową. R Przyjmujemy umowę: Zamiast ⊕ piszemy +, a zamiast ⊗ piszemy „⋅” i przestrzeń wektorową zapisujemy: (X, K, +, ⋅) Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 10 Część 4 - Przestrzeń wektorowa Def. 2 Element neutralny działania + nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy: 0 Przykład 2 X ≠ ∅ F(X, ) = {f: f: X→ R } -- zb. odwzorowań R (F(X, R ), R , +, ⋅) Definiujemy działania: + : F(X, ) × F(X, R ) → F(X, ) R R f, g ∈ F(X, ) R f + g = h : ⇔ h(x) g(x) f(x) g)(x) (f : X x = + = + ∈ ∀ α ⋅ f = g :⇔ ∀x∈X (α ⋅ f)(x) = α ⋅ f(x)
(…)
…: (U, K, +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni X
⇔ ∀α1, α2,..., αn ∈ K∀x1, x2,..., xn ∈ U : (α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn) ∈ U
Def. 4
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X ∧ α1, α2,..., αn ∈ K
x = α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn
Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów x1, x2,..., xn
α1, α2,..., αn - nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.
Def. 5
(X, K…
… + γ = 0
2α - 2β + γ = 0
3α + β + γ = 0
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
α = 0
β = 0
γ = 0
Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo niezależne.
Twierdzenie 4
Z: (X, K, + ,⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X - liniowo niezależne
T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów x1, x2,..., xn to współczynniki tej
kombinacji liniowej są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością…
… + 2 z )⋅(1, 1, 1)
3
3
Wniosek: L inA = R 3
Liniową niezależność wektorów u, v, w sprawdziliśmy w przykładzie 4 b).
Wniosek: A jest bazą przestrzeni R 3.
Uwaga
Każdy podzespół zespołu wektorów liniowo niezależnych jest zespołem
wektorów liniowo niezależnych (ale NIE NA ODWRÓT).
Twierdzenie 7
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
T: Każda niezerowa (nie złożona tylko z 0 ) przestrzeń wektorowa posiada…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)