Przestrzeń wektorowa - algebra

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 770
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Przestrzeń wektorowa - algebra - strona 1 Przestrzeń wektorowa - algebra - strona 2 Przestrzeń wektorowa - algebra - strona 3

Fragment notatki:


PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)     Def. 1  (X, K, ⊕, ⊗) X  ≠ ∅, K - ciało    ⊕ : X × X → X   (⊕ to działanie wewnętrzne w zbiorze X)  ⊗ : K × X → X   (⊗ to działanie zewnętrzne w zbiorze X)    Strukturę (X, K, ⊕, ⊗) nazywamy przestrzenią wektorową :⇔  1)  Struktura (X, ⊕) jest grupą abelową  2)  x,y X  α K: α (x y)   (α x) (α y) ∀ ∈ ∀ ∈ ⊗ ⊕ = ⊗ ⊕ ⊗   3)  x) (β x) (α   x  β) (α                                  x) (β α   x  β)   α  (  : X x K  β α, ⊗ ⊕ ⊗ = ⊗ + ∧ ⊗ ⊗ = ⊗ ⋅ ∈ ∀ ∈ ∀   4)     x x    X x = ⊗ ∈ ∀ 1   Elementy zbioru X nazywamy wektorami, a elementy ciała K – skalarami.    Przyjmujemy umowę:         wektorowa przestrzeń  -   X  wektor -  x     Przykład 1  (  R  3,   R  ,  ⊕, ⊗)  Definiujemy działania:  R 3 ∋ (x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2) := (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)  R   ∋ α⊗ (x, y, z) := (α x, α y, α z)    Sprawdzamy czy (  R  3, ,  ⊕, ⊗) jest przestrzenią wektorową.  R   Czy (  R  3,  ⊕) jest grupą abelową?  [(x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2)] ⊕ (x3, y3, z3) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ⊕   (x3, y3, z3) =(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2+y3), z1 + (z2 +z3)) = (x1, y1, z1) ⊕  [(x2, y2, z2) ⊕ (x3, y3, z3)]  wniosek: działanie  ⊕ jest łączne    Z przemienności dodawania wynika przemienność działania  ⊕.  Elementem neutralnym działania  ⊕ jest   0  =(0, 0, 0)  Każdy element (x, y, z) posiada element przeciwny równy (-x, -y, -z)  bo (x, y, z)  ⊕ (-x, -y, -z) = (0, 0, 0) ∧ (-x, -y, -z) ⊕ (x, y, z) = (0, 0, 0)  Więc struktura (  R  3, ⊕) jest grupą abelową. Pozostałe warunki łatwo  sprawdzić.  Wniosek: (  R  3,  ,  ⊕, ⊗) – jest przestrzenią wektorową.  R   Przyjmujemy umowę:  Zamiast  ⊕ piszemy +, a zamiast ⊗ piszemy „⋅” i przestrzeń wektorową  zapisujemy: (X, K, +,  ⋅)  Wykład dr Magdaleny Sękowskiej  strona 1 z 10  Część 4 - Przestrzeń wektorowa      Def. 2  Element neutralny działania + nazywamy wektorem zerowym i  oznaczamy:  0     Przykład 2  X  ≠ ∅         F(X, ) = {f: f: X→  R  }   --  zb. odwzorowań  R   (F(X,  R  ),  R  , +,  ⋅)  Definiujemy działania:  + :  F(X, )  × F(X,  R  ) → F(X, )  R R       f, g  ∈ F(X, )  R       f + g = h : ⇔  h(x) g(x) f(x)   g)(x) (f  : X x = + = + ∈ ∀             α ⋅ f = g :⇔ ∀x∈X (α ⋅ f)(x) = α ⋅ f(x) 

(…)

…: (U, K, +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni X
⇔ ∀α1, α2,..., αn ∈ K∀x1, x2,..., xn ∈ U : (α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn) ∈ U
Def. 4
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X ∧ α1, α2,..., αn ∈ K
x = α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn
Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów x1, x2,..., xn
α1, α2,..., αn - nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.
Def. 5
(X, K…
… + γ = 0

2α - 2β + γ = 0
3α + β + γ = 0

Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
α = 0

β = 0
γ = 0

Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo niezależne.
Twierdzenie 4
Z: (X, K, + ,⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X - liniowo niezależne
T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów x1, x2,..., xn to współczynniki tej
kombinacji liniowej są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością…
… + 2 z )⋅(1, 1, 1)
3
3
Wniosek: L inA = R 3
Liniową niezależność wektorów u, v, w sprawdziliśmy w przykładzie 4 b).
Wniosek: A jest bazą przestrzeni R 3.
Uwaga
Każdy podzespół zespołu wektorów liniowo niezależnych jest zespołem
wektorów liniowo niezależnych (ale NIE NA ODWRÓT).
Twierdzenie 7
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
T: Każda niezerowa (nie złożona tylko z 0 ) przestrzeń wektorowa posiada…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz