Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej
Definicja 1. (odwzorowania liniowego)
( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅)
f : X →Y
- przestrzenie wektorowe
:⇔
jest odwzorowaniem liniowym
1 ∀ x1 , x2 ∈X : f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 )
2 ∀α∈K : ∀ x∈X : f (α x ) = α ⋅ f ( x )
WNIOSEK:
Jeżeli f: X → Y jest liniowe to:
1 f ( 0x ) = 0 y
2 f (−x ) = − f ( x )
Twierdzenie 1.
Z: ( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe
T:
f : X →Y
⇔
: f (α x1 + β x2 ) = α f ( x1 ) + β f ( x2 )
jest liniowe
∀ x1 , x2 ∈X : ∀α , β ∈K
Twierdzenie 2.
( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe
f : X → Y f jest liniowe ⇔
∀α1 ,α 2, ...,α n ∈K : ∀ x1 , x2 ,..., xn ∈X :
f (α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn ) = α1 f ( x1 ) + α 2 f ( x2 ) + ... + α n f ( xn )
Przykład 1.
(
f
3
, , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa
→
2
taka, że:
( ( x, y, z ) ) = ( x − y + 2 z, x + y + z,3x + 3 y + 3z )
Niech u = ( x1 , x2 , x3 )
v = ( y1 , y2 , y3 )
Czy
3
Sprawdźmy, czy jest to odwzorowanie
liniowe
α, β ∈ R
f (α u + β v ) = α f ( u ) + β f ( v )
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
?
strona 1 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
f (α u + β v ) = f (α ( x1 , x2 , x3 ) + β ( y1 , y2 , y3 ) ) =
= f
( (α x + β y ,α x
1
1
2
+ β y2 ,α x3 + β y3 ) ) =
= (α ( x1 − x2 + 2 x3 ) + β ( y1 − y2 + 2 y3 ) , α ( x1 + x2 + x3 ) +
+ β ( y1 + y2 + y3 ) ,α ( 3x1 + 3x2 + 3 x3 ) + β ( 3 y1 + 3 y2 + 3 y3 ) ) =
= α ( x1 − x2 + 2 x3 , x1 + x2 + x3 ,3 x1 + 3 x2 + 3 x3 ) + β ( y1 − y2 + 2 y3 , y1 + y2 + y3 ,3 y1 + 3 y2 + 3 y3 ) =
α f ( x1 , x2 , x3 ) + β f ( y1 , y2 , y3 ) = α f ( u ) + β f ( v )
Odwzorowanie f jest liniowe
Definicja 2.
( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ )
- przestrzenie wektorowe
f : X → Y jest liniowe
Jądrem odwzorowania liniowego nazywamy ogół takich wektorów z
przestrzeni X, których wartość jest wektorem zerowym przestrzeni Y
Kerf := { x ∈ X : f ( x ) = 0 y }
X
Y
0y
Ker f
Obrazem odwzorowania f (przeciwdziedziną, zbiorem wartości)
nazywamy zbiór
Im f := { y ∈ Y : ∃x∈X : y = f ( x )}
X
Y
Im f
WNIOSEK:
Kerf = f −1 {0}
Im f = { f ( x ) : x ∈ X }
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
Twierdzenie 3. - przestrzenie wektorowe
( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ )
f : X →Y
i f liniowe
T1 : ( Kerf , K , +, ⋅)
podprzestrzeń przestrzeni X
T2 : ( Im f , K , +, ⋅)
podprzestrzeń przestrzeni Y
Twierdzenie 4.
Z: ( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe
T:
f : X → Y jest liniowe
dim X = dim Kerf + dim Im f
Definicja 3.
( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ ) , f : X → Y
f – liniowe
Wymiar obrazu nazywamy rzędem odwzorowania liniowego
dim Im f = rf
Definicja 4.
( X , K , +, ⋅ ) , ( Y , K , +, ⋅ )
- przestrzenie wektorowe
f : X →Y
•
•
•
Odwzorowanie nazywamy monomorfizmem, jeżeli jest liniowe i
injektywne (różnowartościowe)
Odwzorowanie nazywamy epimorfizmem, jeżeli jest linowe i
surrjektywne (Im f=Y)
Odwzorowanie nazywamy izomorfizmem, jeżeli jest liniowe i bijektywne
Twierdzenie 5.
Z:
(…)
… wektorowe
f ∈ L ( X , U ) ∧ g ∈ L (U , Y )
T : g f ∈ L ( X ,Y )
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
Definicja 8.
( X , K , +, ⋅ )
( K , K , +, ⋅ )
Każde ciało może być traktowane jako
przestrzeń wektorowa nad samym sobą
Odwzorowanie liniowe f: X -> K nazywamy formą liniową
WNIOSEK
( L ( X , U ) , K , +, ⋅)
Zbiór form liniowych z dodawaniem i mnożeniem
odwzorowań…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)