PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
Def. 1
(X, K, ⊕, ⊗)
⊕:X×X→X
⊗:K×X→X
X ≠ ∅, K - ciało
(⊕ to działanie wewnętrzne w zbiorze X)
(⊗ to działanie zewnętrzne w zbiorze X)
Strukturę (X, K, ⊕, ⊗) nazywamy przestrzenią wektorową :⇔
1) Struktura (X, ⊕) jest grupą abelową
2) ∀x,y ∈ X ∀α ∈ K: α ⊗ (x ⊕ y) = (α ⊗ x) ⊕ (α ⊗ y)
∀α, β ∈ K ∀x ∈ X : ( α ⋅ β) ⊗ x = α ⊗ (β ⊗ x)
3)
∧ (α + β) ⊗ x = (α ⊗ x) ⊕ (β ⊗ x)
4) ∀x ∈ X 1 ⊗ x = x
Elementy zbioru X nazywamy wektorami, a elementy ciała K – skalarami.
Przyjmujemy umowę:
x - wektor
X - przestrzeń wektorowa
Przykład 1
( R 3 , R , ⊕, ⊗)
Definiujemy działania:
3
R ∋ (x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2) := (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
R ∋ α⊗ (x, y, z) := (α x, α y, α z)
Sprawdzamy czy ( R 3, R , ⊕, ⊗) jest przestrzenią wektorową.
Czy ( R 3, ⊕) jest grupą abelową?
[(x1, y1, z1) ⊕ (x2, y2, z2)] ⊕ (x3, y3, z3) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ⊕
(x3, y3, z3) =(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2+y3), z1 + (z2 +z3)) = (x1, y1, z1) ⊕
[(x2, y2, z2) ⊕ (x3, y3, z3)]
wniosek: działanie ⊕ jest łączne
Z przemienności dodawania wynika przemienność działania ⊕.
Elementem neutralnym działania ⊕ jest 0 =(0, 0, 0)
Każdy element (x, y, z) posiada element przeciwny równy (-x, -y, -z)
bo (x, y, z) ⊕ (-x, -y, -z) = (0, 0, 0) ∧ (-x, -y, -z) ⊕ (x, y, z) = (0, 0, 0)
Więc struktura ( R 3,⊕) jest grupą abelową. Pozostałe warunki łatwo
sprawdzić.
Wniosek: ( R 3, R , ⊕, ⊗) – jest przestrzenią wektorową.
Przyjmujemy umowę:
Zamiast ⊕ piszemy +, a zamiast ⊗ piszemy „⋅” i przestrzeń wektorową
zapisujemy: (X, K, +, ⋅)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 10
Część 4 - Przestrzeń wektorowa
Def. 2
Element neutralny
oznaczamy: 0
działania
+
Przykład 2
X≠∅
F(X, R ) = {f: f: X→ R }
nazywamy
wektorem
zerowym
i
-- zb. odwzorowań
(F(X, R ), R , +, ⋅)
Definiujemy działania:
+ : F(X, R ) × F(X, R ) → F(X, R )
f, g ∈ F(X, R )
f + g = h :⇔ ∀x ∈ X : (f + g)(x) = f(x) + g(x) = h(x)
α ⋅ f = g :⇔ ∀x∈X (α ⋅ f)(x) = α ⋅ f(x)
W tym przypadku wektorami są odwzorowania.
F(X, R ) ∋ 0 : ∀x ∈ X 0 (x) = 0 (Wektorem zerowym jest odwzorowanie!)
Łatwo zauważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura
(F(X, R ), R , +, ⋅) jest przestrzenią wektorową.
Def. 3
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
U ≠ ∅, U ⊂ X
Strukturę (U, K, +, ⋅) nazywamy podprzestrzenią wektorową przestrzeni X
:⇔
1) ∀x, y ∈ U : (x + y) ∈ U
2) ∀α ∈ K ∀x ∈ U : (α ⋅ x) ∈ U
Przykład 3
(R3, R, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa (patrz: Przykład 1)
a).
U := {(x, y, z)∈ R 3: x + y + z = 0}
Sprawdzamy, czy (U, R , +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni R 3.
U ≠ ∅ ponieważ np. (1, 0, 1) ∈ U
U ∋ x = (x1, y1, z1) ⇒ x1 + y1 + z1 = 0
U ∋ y = (x2, y2, z2) ⇒ x2 + y2 + z2 = 0
Pytamy, czy x + y ∈U (pierwszy warunek podprzestrzeni)
x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
x1 + x2 + y1 + y2 + z1 +z2 = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0
Teraz pytamy, czy α ⋅ x ∈ U (drugi warunek podprzestrzeni)
α ⋅ x = α⋅(x, y, z) = (αx, αy, αz)
αx + αy + αz = α(x + y +z) = α⋅0 = 0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 10
Część 4 - Przestrzeń
(…)
…: (U, K, +, ⋅) jest podprzestrzenią przestrzeni X
⇔ ∀α1, α2,..., αn ∈ K∀x1, x2,..., xn ∈ U : (α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn) ∈ U
Def. 4
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X ∧ α1, α2,..., αn ∈ K
x = α1 ⋅ x1 + α2 ⋅ x2 + ... + αn ⋅ xn
Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów x1, x2,..., xn
α1, α2,..., αn - nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.
Def. 5
(X, K…
… + γ = 0
2α - 2β + γ = 0
3α + β + γ = 0
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
α = 0
β = 0
γ = 0
Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo niezależne.
Twierdzenie 4
Z: (X, K, + ,⋅) – przestrzeń wektorowa
x1, x2,..., xn ∈ X - liniowo niezależne
T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów x1, x2,..., xn to współczynniki tej
kombinacji liniowej są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością…
… + 2 z )⋅(1, 1, 1)
3
3
Wniosek: L inA = R 3
Liniową niezależność wektorów u, v, w sprawdziliśmy w przykładzie 4 b).
Wniosek: A jest bazą przestrzeni R 3.
Uwaga
Każdy podzespół zespołu wektorów liniowo niezależnych jest zespołem
wektorów liniowo niezależnych (ale NIE NA ODWRÓT).
Twierdzenie 7
Z: (X, K, +, ⋅) – przestrzeń wektorowa
T: Każda niezerowa (nie złożona tylko z 0 ) przestrzeń wektorowa posiada…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)