To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 8 Wzory na rozwiązywanie równań stopnia 2, 3, 4 w ciele C Wszystkie rozważane tu równania mają współczynniki zespolone. Jeśli rozważamy równanie az 2 + bz + c = 0 to znamy algorytm rozwiązy- wania tego równania. Rozważmy teraz równanie stopnia 3: az 3 + bz 2 + cz + d = 0. Pokażemy jak rozwiązywać takie równania. Przypadek 1. Niech b = 0, a więc mamy równanie az 3 + cz + d = 0. Po pierwsze jeśli a = 0 to możemy nasze równanie podzielić obustronnie przez a . I przyjmując, że s = c a , t = d a , otrzymujemy równanie: z 3 + sz + t = 0 Przedstawmy rozwiązanie tego równania w postaci z = α + β wtedy otrzy- mujemy: ( α + β ) 3 + s ( α + β ) + t = 0 stąd: α 3 + 3 α 2 β + 3 αβ 2 + β 3 + s ( α + β ) + t = 0 i dalej: α 3 + β 3 + 3 αβ ( α + β ) + s ( α + β ) + t = 0 a więc: α 3 + β 3 + t + ( α + β )(3 αβ + s ) = 0 To równanie jest spełnione między innymi w przypadku gdy: α 3 + β 3 = −t 3 αβ = −s Podzielmy drugie równanie przez 3 i podnieśmy do trzeciej potęgi: α 3 + β 3 = −t α 3 β 3 = − s 3 27 Wstawmy u za α 3 i v za β 3 wtedy otrzymujemy: u + v = −t uv = − s 3 27 Obliczmy u z drugiego równania i wstawmy do pierwszego: − s 3 27 v + v = −t 1 Pomnóżmy obie strony przez v : − s 3 27 + v 2 = −tv przenieśmy na jedną stronę: v 2 + tv − s 3 27 = 0 Otrzymaliśmy zależność kwadratową na v , a takie równania umiemy rozwią- zywać. To nam pozwoli wyznaczyć v , oraz u . Z więc również α i β . Co da nam rozwiązanie wyjściowego równania. Przykład Rozwiązać opisaną powyżej metodą równanie x 3 + 3 x − 4 = 0. Przypadek 2. Jeśli b = 0 to dokonujemy podstawienia: z = y − b 3 a . I otrzy- mujemy równanie: a 1 z 3 + c 1 z + d 1 = 0 gdzie a 1 = a, c 1 = 3 as 2 − 2 bs + c, d 1 = s 2 −cs + d−as 3, s = b 3 a . A więc otrzymu- jemy równanie z przypadku pierwszego. Jeśli potrafimy rozwiązać równanie a 1 z 3 + c 1 z + d 1 = 0 to potrafimy również rozwiązać równanie wyjściowe. Przykład Rozwiązać równanie x 3 − 2 x 2 − x + 2 = 0. Rozważmy teraz równanie stopnia 4: az 4 + bz 3 + cz 2 + dz + e = 0. Podobnie jak poprzednio rozpatrzymy dwa przypadki: Przypadek 1. Załóżmy, że b = 0. Wtedy mamy równanie: az 4+ cz 2+ dz + e = 0. Podzielmy nasze równanie obustronnie przez
(…)
… +cz 2 +dz+e =
c
d
0. Podzielmy nasze równanie obustronnie przez a i wstawmy: s = a , t = a , r =
e
. Wtedy równanie przybiera postać:
a
z 4 + sz 2 + tz + r = 0
Spróbujmy rozłożyć wielomian na iloczyn dwóch wielomianów stopnia 2:
z 4 + sz 2 + tz + r = (z 2 + αz + β)(z 2 + γz + δ)
Obliczmy:
(z 2 + αz + β)(z 2 + γz + δ) = z 4 + (α + γ)z 3 + (β + δ + αγ)z 2 + (αδ + βγ)z + βδ
Po porównaniu z równaniem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)