Wykład 11 Grupy Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i działania binarnego ◦ , które spełnia własności: (i) Działanie ◦ jest łączne, czyli ∀a, b, c ∈ G a ◦ ( b ◦ c ) = ( a ◦ b ) ◦ c. (ii) Działanie ◦ posiada
Wykład 10 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Niepusty podzbiór I ⊆ P nazy- wamy ideałem pierścienia P jeśli spełnione są następujące warunki: (i) ∀a, b ∈ I a − b ∈ I . (ii) ∀p ∈ P ∀a ∈ I pa ∈ I, ap ∈ I Przykłady 1. Każdy zbiór n Z jest ideałem pierścienia Z. 2. Zbiór { 0 , 2 , 4 } ...
Wykład 6 Iloczyn skalarny Niech K będzie ciałem liczb rzeczywistych R lub ciałem liczb zespolonych C. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K , wtedy funkcję: S : V × V → K nazywamy iloczynem skalarnym jeśli ∀u, v, w ...
Wykład 9 Interpolacja wielomianowa Niech K będzie pewnym ciałem i niech a 1 , a 2 , . . . , an, b 1 , b 2 , . . . , bn będą pewnymi elementami ciała K ( ai = aj dla i = j ). Zadanie jest następujące. Chcemy znaleźć wielomian f ( x ) ∈ K [ x ], taki że f ( a 1) = b 1 , f ( a 2) =...
Wykład 11 Macierze cd. Jeśli macierz ma tyle samo wierszy co kolumn to macierz taką nazywa- my macierzą kwadratową . Mówimy, że A jest macierzą stopnia n jeśli ma wymiar n × n . Zbiór wszystkich
Macierze nieosobliwe Macierze nieosobliwe definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych. Definicja 1. Macierz nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli istnieje macierz A B n n × n n × taka że: A B B A I ⋅ = ⋅ = Twierdzenie 1. Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macie...
MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI. { } 1,2,..., k k = Definicja 1. Macierzą nazywamy każde odwzorowanie określone na iloczynie kartezjańskim .Wartość tego odwzorowania na parze (i,j) oznaczamy a k × j ij i nazywamy elementem tej macierzy. Zbiór wartości zapisujemy w ...
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej Definicja 1. (odwzorowania liniowego) 1 2 , 1 2 1 ( , , , ), ( , , , ) : 1 : ( ) ( ) ( 2 : : ( ) ( ) x x X K x X X K Y K f X Y f x x f x f x f x f x α α α ∈ ∈ ∈ + ⋅ + ⋅ → ∀ + = + ∀ ∀ = ⋅ - przestrzenie wektorowe : ⇔ jest odwzorowaniem liniowym ...
Wykład 12 Permutacje Niech X będzie zbiorem. Każdą wzajemnie jednoznaczną funkcję prze- kształcającą X na X nazywamy permutacją zbioru X . Zbiór wszystkich per- mutacji zbioru X oznaczamy przez S ( X ). Uwaga 1 Permutacjami są wszystkie wzajemnie jednoznaczne przekształce- nia to znacz...
Wykład 1 Pojęcia wstępne Będziemy używać, następujących oznaczeń: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . .} -zbiór liczb naturalnych, N ∗ = N \ { 0 } , Z = {. . . , − 3 , − 2 , − 1 ,...
