Wykład 1 Pojęcia wstępne Będziemy używać, następujących oznaczeń: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . .} -zbiór liczb naturalnych, N ∗ = N \ { 0 } , Z = {. . . , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . .} -zbiór liczb całkowitych, Q-zbiór liczb wymiernych, R-zbiór liczb rzeczywistych. Wyżej wymienione zbiory spełniają następujące relacje: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór złożony ze wszystkich par ( x, y ), takich że x ∈ X, y ∈ Y . Iloczyn kartezjański zbiorów X i Y oznaczamy przez X × Y . Mamy więc: X × Y = { ( x, y ) : x ∈ X, y ∈ Y } Ogólniej jeśli X 1 , X 2 , . . . , Xn są dowolnymi zbiorami to iloczynem kartezjań- skim X 1 × X 2 × · · · × Xn nazywamy zbiór: X 1 × X 2 × · · · × Xn = { ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) : xi ∈ Xi, 1 i n} Jeśli X jest zbiorem to przyjmujemy oznaczenie: Xn = X × X × · · · × X n Uwaga 1 Jeśli X i Y są zbiorami skończonymi i |X| = k, |Y | = l to mamy |X × Y | = kl oraz |Xn| = kn. Odwzorowanie f zbioru A w zbiór B nazywamy funkcją jeśli każdemu elementowi zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru B i piszemy symbolicznie: f : A → B lub A f → B Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór B zbiorem wartości. Jeśli A i B są dowolnymi zbiorami to przez BA oznaczamy zbiór wszystkich funkcji przekształcających zbiór A w zbiór B : B A = {f : A f → B} 1 Przykład Niech X = { 1 , 2 } . Wtedy XX jest zbiorem funkcji przekształca- jących X w X . Zbiór XX składa się z następujących funkcji: f 1 : 1 → 1 2 → 2 , f 2 : 1 → 2 2 → 1 , f 3 : 1 → 1 2 → 1 , f 4 : 1 → 2 2 → 2 . W przypadku gdy X jest zbiorem skończonym, składającym się z elemen- tów x 1 , x 2 , . . . , xn , to funkcję f ∈ X X możemy zapisać w postaci: x 1 x 2 . . . xn f ( x 1) f ( x 2) . . . f ( xn ) Dla X = { 1 , 2 } mamy: X X = f 1 = 1 2 1 2 , f 2 = 1 2 2 1 , f 3 = 1 2 1 1 , f 4 = 1 2 2 2 . Jeśli X jest dowolnym zbiorem to przez 2 X oznaczamy rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X . Mamy więc A ∈ 2 X ⇐⇒ A ⊆ X . Przykład Niech X = { 1 , 2 , 3 } . Wtedy mamy 2 X = { ∅ , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, { 1 , 2 , 3 }}. Twierdzenie 1 Jeśli X jest zbiorem skończonym i |X| = n to |
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)