Pojęcia wstępne - algebra

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 763
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pojęcia wstępne - algebra - strona 1 Pojęcia wstępne - algebra - strona 2 Pojęcia wstępne - algebra - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 1 Pojęcia wstępne Będziemy używać, następujących oznaczeń: N =  { 0 ,  1 ,  2 ,  3 , . . .} -zbiór liczb naturalnych, N ∗  = N  \ { 0 } , Z =  {. . . , − 3 , − 2 , − 1 ,  0 ,  1 ,  2 ,  3 , . . .} -zbiór liczb całkowitych, Q-zbiór liczb wymiernych, R-zbiór liczb rzeczywistych. Wyżej wymienione zbiory spełniają następujące relacje: N  ⊂  Z  ⊂  Q  ⊂  R Iloczynem kartezjańskim  zbiorów  X  i  Y  nazywamy zbiór złożony ze wszystkich par ( x, y ), takich że  x ∈ X, y ∈ Y  . Iloczyn kartezjański zbiorów X  i  Y  oznaczamy przez  X × Y  . Mamy więc: X × Y  =  { ( x, y ) :  x ∈ X, y ∈ Y } Ogólniej jeśli  X 1 , X 2 , . . . , Xn  są dowolnymi zbiorami to iloczynem kartezjań- skim  X 1  × X 2  × · · · × Xn  nazywamy zbiór: X 1  × X 2  × · · · × Xn  =  { ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) :  xi ∈ Xi,  1 i n} Jeśli  X  jest zbiorem to przyjmujemy oznaczenie:  Xn  =  X × X × · · · × X n Uwaga 1  Jeśli X i Y są zbiorami skończonymi i |X|  =  k, |Y |  =  l to mamy |X × Y |  =  kl oraz |Xn|  =  kn. Odwzorowanie  f  zbioru  A  w zbiór  B  nazywamy  funkcją  jeśli każdemu elementowi zbioru  A  przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru B  i piszemy symbolicznie: f  :  A → B lub A f → B Zbiór  A  nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór  B  zbiorem wartości. Jeśli  A  i B  są dowolnymi zbiorami to przez  BA  oznaczamy zbiór wszystkich funkcji przekształcających zbiór  A  w zbiór  B : B A  =  {f  :  A f → B} 1 Przykład  Niech  X  =  { 1 ,  2 } . Wtedy  XX  jest zbiorem funkcji przekształca- jących  X  w  X . Zbiór  XX  składa się z następujących funkcji: f 1 : 1  →  1 2  →  2 , f 2 : 1  →  2 2  →  1 , f 3 : 1  →  1 2  →  1 , f 4 : 1  →  2 2  →  2 . W przypadku gdy  X  jest zbiorem skończonym, składającym się z elemen- tów  x 1 , x 2 , . . . , xn , to funkcję  f ∈ X X  możemy zapisać w postaci: x 1 x 2 . . . xn f  ( x 1)  f  ( x 2)  . . . f  ( xn ) Dla  X  =  { 1 ,  2 }  mamy: X X  =  f 1 = 1 2 1 2 , f 2 = 1 2 2 1 , f 3 = 1 2 1 1 , f 4 = 1 2 2 2 . Jeśli  X  jest dowolnym zbiorem to przez 2 X  oznaczamy rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru  X . Mamy więc  A ∈  2 X ⇐⇒ A ⊆ X . Przykład  Niech  X  =  { 1 ,  2 ,  3 } . Wtedy mamy 2 X  =  { ∅ , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 ,  2 }, { 1 ,  3 }, { 2 ,  3 }, { 1 ,  2 ,  3 }}. Twierdzenie 1  Jeśli X jest zbiorem skończonym i |X|  =  n to | ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz