To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 6 Iloczyn skalarny Niech K będzie ciałem liczb rzeczywistych R lub ciałem liczb zespolonych C. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K , wtedy funkcję: S : V × V → K nazywamy iloczynem skalarnym jeśli ∀u, v, w ∈ V, k ∈ K : 1. S ( u, v ) = S ( v, u ), 2. S ( u + v, w ) = S ( u, w ) + S ( v, w ), 3. S ( ku, v ) = kS ( u, v ), 4. S ( u, u ) 0 i jeśli S ( u, u ) = 0 to u = 0. Zwykle zamiast pisać S ( u, v ) będziemy pisać ( u|v ). Przykłady 1. W przestrzeni V = R 3 iloczynem skalarnym jest funkcja: (( x 1 , x 2 , x 3) | ( y 1 , y 2 , y 3)) = 3 i =1 xiyi 2. W tej samej przestrzeni V = R 3 iloczynem skalarnym jest również funkcja: (( x 1 , x 2 , x 3) | ( y 1 , y 2 , y 3)) = 3 i =1 ixiyi 3. W przestrzeni V = R n iloczynem skalarnym jest funkcja: (( x 1 , . . . , xn ) | ( y 1 , . . . , yn )) = n i =1 xiyi 4. W przestrzeni C ( a, b ) funkcji ciągłych na odcinku ( a, b ) funkcja: ( f |g ) = b a f ( x ) g ( x ) dx jest iloczynem skalarnym. 5. W przestrzeni V = C 3 iloczynem skalarnym jest funkcja: (( x 1 , . . . , xn ) | ( y 1 , . . . , yn )) = 3 i =1 xiyi Przestrzeń liniową V nad ciałem R z iloczynem skalarnym nazywać bę- dziemy przestrzenią euklidesową , a przestrzeń liniową V nad ciałem C z iloczynem skalarnym nazywać będziemy przestrzenią unitarną . 1 Twierdzenie 1 Jesli V jest przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym ( ·|· ) to: (i) ∀v (0 |v ) = ( v| 0) = 0 , (ii) ∀u, v ( u|v + w ) = ( u|v ) + ( u|w ) , (iii) jeśli ( u|v ) = 0 to wektory u i v są liniowo niezależne, (iv) ∀u, v, k ∈ R ( u|kv ) = k ( u|v ) , (v) ∀u, v ( u|v )2 ( u|u )( v|v ) (nierówność Cauchy-Buniakowskiego-Schwartza). 2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)