Iloczyn skalarny - algebra

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 994
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Iloczyn skalarny - algebra - strona 1 Iloczyn skalarny - algebra - strona 2

Fragment notatki:


Wykład 6 Iloczyn skalarny Niech  K  będzie ciałem liczb rzeczywistych R lub ciałem liczb zespolonych C. Niech  V  będzie przestrzenią liniową nad ciałem  K , wtedy funkcję: S  :  V × V → K nazywamy iloczynem skalarnym jeśli  ∀u, v, w ∈ V, k ∈ K : 1.  S ( u, v ) =  S ( v, u ), 2.  S ( u  +  v, w ) =  S ( u, w ) +  S ( v, w ), 3.  S ( ku, v ) =  kS ( u, v ), 4.  S ( u, u ) 0 i jeśli  S ( u, u ) = 0 to  u  = 0. Zwykle zamiast pisać  S ( u, v ) będziemy pisać ( u|v ). Przykłady 1.  W przestrzeni  V  = R 3 iloczynem skalarnym jest funkcja: (( x 1 , x 2 , x 3) | ( y 1 , y 2 , y 3)) = 3 i =1 xiyi 2.  W tej samej przestrzeni  V  = R 3 iloczynem skalarnym jest również funkcja: (( x 1 , x 2 , x 3) | ( y 1 , y 2 , y 3)) = 3 i =1 ixiyi 3.  W przestrzeni  V  = R n  iloczynem skalarnym jest funkcja: (( x 1 , . . . , xn ) | ( y 1 , . . . , yn )) = n i =1 xiyi 4.  W przestrzeni  C ( a, b ) funkcji ciągłych na odcinku ( a, b ) funkcja: ( f |g ) = b a f  ( x ) g ( x ) dx jest iloczynem skalarnym. 5.  W przestrzeni  V  = C 3 iloczynem skalarnym jest funkcja: (( x 1 , . . . , xn ) | ( y 1 , . . . , yn )) = 3 i =1 xiyi Przestrzeń liniową  V  nad ciałem R z iloczynem skalarnym nazywać bę- dziemy  przestrzenią euklidesową , a przestrzeń liniową  V  nad ciałem C z iloczynem skalarnym nazywać będziemy  przestrzenią unitarną . 1 Twierdzenie 1  Jesli V jest przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym ( ·|· )  to: (i)  ∀v  (0 |v ) = ( v| 0) = 0 , (ii)  ∀u, v  ( u|v  +  w ) = ( u|v ) + ( u|w ) , (iii)  jeśli  ( u|v ) = 0  to wektory u i v są liniowo niezależne, (iv)  ∀u, v, k ∈  R ( u|kv ) =  k ( u|v ) , (v)  ∀u, v  ( u|v )2 ( u|u )( v|v )  (nierówność Cauchy-Buniakowskiego-Schwartza). 2 ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz