To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 6
Iloczyn skalarny
Niech K będzie ciałem liczb rzeczywistych R lub ciałem liczb zespolonych
C. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, wtedy funkcję:
S :V ×V →K
nazywamy iloczynem skalarnym jeśli ∀u, v, w ∈ V, k ∈ K:
1. S(u, v) = S(v, u),
2. S(u + v, w) = S(u, w) + S(v, w),
3. S(ku, v) = kS(u, v),
4. S(u, u) 0 i jeśli S(u, u) = 0 to u = 0.
Zwykle zamiast pisać S(u, v) będziemy pisać (u|v).
Przykłady
1. W przestrzeni V = R3 iloczynem skalarnym jest funkcja:
3
((x1 , x2 , x3 )|(y1 , y2 , y3 )) =
x i yi
i=1
2. W tej samej przestrzeni V = R3 iloczynem skalarnym jest również funkcja:
3
((x1 , x2 , x3 )|(y1 , y2 , y3 )) =
ixi yi
i=1
3. W przestrzeni V = Rn iloczynem skalarnym jest funkcja:
n
((x1 , . . . , xn )|(y1 , . . . , yn )) =
xi yi
i=1
4. W przestrzeni C(a, b) funkcji ciągłych na odcinku (a, b) funkcja:
b
(f |g) =
f (x)g(x)dx
a
jest iloczynem skalarnym.
5. W przestrzeni V = C3 iloczynem skalarnym jest funkcja:
3
xi yi
((x1 , . . . , xn )|(y1 , . . . , yn )) =
i=1
Przestrzeń liniową V nad ciałem R z iloczynem skalarnym nazywać będziemy przestrzenią euklidesową, a przestrzeń liniową V nad ciałem C z
iloczynem skalarnym nazywać będziemy przestrzenią unitarną.
1
Twierdzenie 1 Jesli V jest przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym
(·|·) to:
(i) ∀v (0|v) = (v|0) = 0,
(ii) ∀u, v (u|v + w) = (u|v) + (u|w),
(iii) jeśli (u|v) = 0 to wektory u i v są liniowo niezależne,
(iv) ∀u, v, k ∈ R (u|kv) = k(u|v),
(v) ∀u, v (u|v)2 (u|u)(v|v) (nierówność Cauchy-Buniakowskiego-Schwartza).
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)