Algebra - wykład : grupy

Nasza ocena:

3
Pobrań: 42
Wyświetleń: 693
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra - wykład : grupy - strona 1 Algebra - wykład : grupy - strona 2 Algebra - wykład : grupy - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 11 Grupy Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru  G  i działania binarnego  ◦ , które spełnia własności: (i) Działanie  ◦  jest łączne, czyli ∀a, b, c ∈ G a ◦  ( b ◦ c ) = ( a ◦ b )  ◦ c. (ii) Działanie  ◦  posiada element neutralny, to znaczy ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e  =  e ◦ a  =  a. (iii) Każdy element jest odwracalny względem  ◦ , to znaczy ∀a ∈ G∃a ∈ G a ◦ a  =  a ◦ a  =  e, gdzie  e  jest elementem neutralnym tego działania. Jeśli dodatkowo (iv) Działanie  ◦  jest przemienne, to znaczy ∀a, b ∈ G a ◦ b  =  b ◦ a, to grupę nazywamy grupą abelową (albo przemienną). Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożonej ze zbioru i działania ( G, ◦ ). Każdy element grupy jest odwracalny. Element odwrotny do  a  oznaczać bę- dziemy przez  a− 1. Niepusty podzbiór  H  grupy  G  nazywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli: (i)  ∀h 1 , h 2  ∈ H h 1  ◦ h 2  ∈ H . (ii)  e ∈ H . (iii)  ∀h ∈ H h− 1  ∈ H . Łatwo zauważyć, że jeśli  H  jest podgrupą grupy  G  to struktura ( H, ◦ ) jest grupą. Przykłady grup 1. (Z ,  +), (R ,  +) są grupami abelowymi. 2. Jeśli ( P,  + , · ) jest pierścieniem to ( P,  +) jest grupą abelową oraz ( P ∗, · ) jest grupą (gdzie  P ∗  oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia  P  ). W szczególności zbiór macierzy  n × n  nad danym ciałem  K , o wyznaczniku niezerowym jest grupą ( dla  n   1 nieabelową). Grupę tą oznaczamy przez Gl n ( K ) i mamy: Gl n ( K ) =  {A ∈ Mn ( K ) : det  A  = 0 } 1 Grupa ta jest nazywana  grupą liniową macierzy  n × n . 3. Zbiór Sl n ( K ) =  {A ∈ Mn  : det  A  = 1 }  jest podgrupą grupy Gl n ( K ) (nazywaną specjalną grupą liniową). 4. Oznaczmy przez  Sn  zbiór wszystkich permutacji zbioru  { 1 ,  2 , . . . , n}  (czyli wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru  { 1 ,  2 , . . . , n}  na siebie). Zbiór ten wraz z działaniem składania przekształceń  ◦  tworzy grupę (dla  n   2 nieabelową). Jest to przykład grupy skończonej (to znaczy takiej, w której zbiór  G  ma skończoną ilość elementów) bo  Sn  ma dokłanie  n ! elementów. Na przykład S 3 =  {σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 , σ 5 } gdzie: σ 0 = 1 2 3 1 2 3 , σ 1 = 1 2 3 1 3 2 , σ 2 = 1 2 3 3 2 1 , σ 3 = 1 2 3 2 1 3 , σ 4 = 1 2 3 3 1 2 , σ 5 = 1 2 3 2 3 1 Sprawdza się bezpośrednio, że podgrupami grupy  S 3 są podzbiory: {σ 0 } {σ 0 , σ 1 } {σ 0 , σ 2 } {σ 0 , σ 3 } {σ

(…)

… to każdy
element ma skończony rząd.
Dowód Niech a będzie elementem grupy G. Rozważmy zbiór potęg elementu
a:
{1, a, a2 , a3 , . . .}
Elementy te należą do G. Ponieważ G jest zbiorem skończonym to zbiór potęg
elementu a też jest skończony, a to oznacza, że istnieją liczby naturalne i = j,
że ai = aj i jeśli i < j to aj−i = e. To oznacza, że rząd elementu a jest
skończony.
4
Twierdzenie 2 Jeśli G1 i G2 są grupami…

F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F
na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem składania
przekształceń jest grupą.
2
Figurę F nazywamy n-kątem foremnym jeśli ma n równych boków i n równych kątów. Na przykład trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny,
czworokątem foremnym jest kwadrat itd. Oznaczmy przez Dn grupę izometrii własnych n-kąta…
… neutralny oznacza się
przez 0, a element odwrotny do a oznacza się przez −a. Zamiast potęgowania
wykonuje się mnożenie przez liczby całkowite:
0a = 0, na = a + . . . + a, (−n)a = (−a) + . . . + (−a)
n
n
Wtedy ta operacja ma analogiczne własności jak potęgowanie:
(i) (n + m)a = na + ma.
(ii) (nm)a = n(ma).
Niech a będzie elementem grupy G. Najmniejszą niezerową liczbę naturalną n, taką że an = e nazywamy…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz