Wykład 11 Grupy Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i działania binarnego ◦ , które spełnia własności: (i) Działanie ◦ jest łączne, czyli ∀a, b, c ∈ G a ◦ ( b ◦ c ) = ( a ◦ b ) ◦ c. (ii) Działanie ◦ posiada element neutralny, to znaczy ∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a. (iii) Każdy element jest odwracalny względem ◦ , to znaczy ∀a ∈ G∃a ∈ G a ◦ a = a ◦ a = e, gdzie e jest elementem neutralnym tego działania. Jeśli dodatkowo (iv) Działanie ◦ jest przemienne, to znaczy ∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a, to grupę nazywamy grupą abelową (albo przemienną). Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożonej ze zbioru i działania ( G, ◦ ). Każdy element grupy jest odwracalny. Element odwrotny do a oznaczać bę- dziemy przez a− 1. Niepusty podzbiór H grupy G nazywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli: (i) ∀h 1 , h 2 ∈ H h 1 ◦ h 2 ∈ H . (ii) e ∈ H . (iii) ∀h ∈ H h− 1 ∈ H . Łatwo zauważyć, że jeśli H jest podgrupą grupy G to struktura ( H, ◦ ) jest grupą. Przykłady grup 1. (Z , +), (R , +) są grupami abelowymi. 2. Jeśli ( P, + , · ) jest pierścieniem to ( P, +) jest grupą abelową oraz ( P ∗, · ) jest grupą (gdzie P ∗ oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia P ). W szczególności zbiór macierzy n × n nad danym ciałem K , o wyznaczniku niezerowym jest grupą ( dla n 1 nieabelową). Grupę tą oznaczamy przez Gl n ( K ) i mamy: Gl n ( K ) = {A ∈ Mn ( K ) : det A = 0 } 1 Grupa ta jest nazywana grupą liniową macierzy n × n . 3. Zbiór Sl n ( K ) = {A ∈ Mn : det A = 1 } jest podgrupą grupy Gl n ( K ) (nazywaną specjalną grupą liniową). 4. Oznaczmy przez Sn zbiór wszystkich permutacji zbioru { 1 , 2 , . . . , n} (czyli wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru { 1 , 2 , . . . , n} na siebie). Zbiór ten wraz z działaniem składania przekształceń ◦ tworzy grupę (dla n 2 nieabelową). Jest to przykład grupy skończonej (to znaczy takiej, w której zbiór G ma skończoną ilość elementów) bo Sn ma dokłanie n ! elementów. Na przykład S 3 = {σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ 4 , σ 5 } gdzie: σ 0 = 1 2 3 1 2 3 , σ 1 = 1 2 3 1 3 2 , σ 2 = 1 2 3 3 2 1 , σ 3 = 1 2 3 2 1 3 , σ 4 = 1 2 3 3 1 2 , σ 5 = 1 2 3 2 3 1 Sprawdza się bezpośrednio, że podgrupami grupy S 3 są podzbiory: {σ 0 } {σ 0 , σ 1 } {σ 0 , σ 2 } {σ 0 , σ 3 } {σ
(…)
… to każdy
element ma skończony rząd.
Dowód Niech a będzie elementem grupy G. Rozważmy zbiór potęg elementu
a:
{1, a, a2 , a3 , . . .}
Elementy te należą do G. Ponieważ G jest zbiorem skończonym to zbiór potęg
elementu a też jest skończony, a to oznacza, że istnieją liczby naturalne i = j,
że ai = aj i jeśli i < j to aj−i = e. To oznacza, że rząd elementu a jest
skończony.
4
Twierdzenie 2 Jeśli G1 i G2 są grupami…
…
F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F
na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem składania
przekształceń jest grupą.
2
Figurę F nazywamy n-kątem foremnym jeśli ma n równych boków i n równych kątów. Na przykład trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny,
czworokątem foremnym jest kwadrat itd. Oznaczmy przez Dn grupę izometrii własnych n-kąta…
… neutralny oznacza się
przez 0, a element odwrotny do a oznacza się przez −a. Zamiast potęgowania
wykonuje się mnożenie przez liczby całkowite:
0a = 0, na = a + . . . + a, (−n)a = (−a) + . . . + (−a)
n
n
Wtedy ta operacja ma analogiczne własności jak potęgowanie:
(i) (n + m)a = na + ma.
(ii) (nm)a = n(ma).
Niech a będzie elementem grupy G. Najmniejszą niezerową liczbę naturalną n, taką że an = e nazywamy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)