G R U P Y C Y K L I I I C Z N E DEF : : : Grup ę która posiada jednoelementowy zbiór generatorów nazywamy cykliczn ą . np. Z = Z / N Z = { N Z , 1+ N Z , …, (N -1) N Z } = Z / N Z Z N = {1, 2, …, N-1} = Niech G - grupa cykliczna G = Mamy G = {g n : n Z } Rozwa Ŝ my homomorfizm: f: Z → G n a g n Wyka Ŝ emy, Ŝ e f jest homomorfizmem: f(m+n) = g m+n = g m g n = f(m)f(n) m,n Z Wida ć , Ŝ e f jest „na”. bo Im f = {f(n) : n Z } = {g n : n Z } = G L L L E E M M A A T T T Ka Ŝ da podgrupa liczb całkowitych ( Z ) jest postaci H = N Z , gdzie N ≥ 0, N Z T T TW I I IERD Z Z ZEN I I IE . . . ( ( (K L L LA S S S Y Y YF I I IKAC J J JA GRU P P P C Y Y YK L L L I I IC Z Z Z N Y Y YCH ) ) ) (1) Ka Ŝ da grupa cykliczna jest abelowa (2) Grupy Z / N Z , N ≥ 0 s ą z dokładno ś ci ą do izomorfizmy jedynymi grupami cyklicznymi. (3) Obraz homomorficzny grupy cyklicznej jest grup ą cykliczn ą . (4) Podgrupa grupy cyklicznej jest grup ą cykliczn ą . WNIOSEK Dwie grupy cykliczne SA izomorficzne s ą równoliczne. W szczególno ś ci dla N N istnieje z dokładno ś ci ą do izomorfizmu jedna grupa cykliczna rz ę du N . Oznaczamy zwykle: C(N), Z / N Z , Z N , M N , O(W N ). Niech G b ę dzie dowoln ą grupa i niech g G. Rz ą d grupy generowanej przez nazywamy rz ę dem elementu g . Oznaczamy: Ord g . Grupa jest grup ą cykliczn ą . Je ś li Ord g = , to wcze ś niej wspomniany homomorfizm f: Z →→ jest izomorfizmem, wi ę c pot ę gi g n s ą wszystkie ró Ŝ ne i mamy: = {…, g -2 , g -1 , 1, g 1 , g 2 , …}. Je ś li Ord g = N N Z / N Z to mo Ŝ emy napisa ć : → → →→ g NZ Z Z Z g f f * = f*( Z / N Z ) = f*({N Z , 1+ N Z , …, (N-1) N Z } ) = {1, g, g 2 , …, g N-1 } - ite pot ę gi s ą ró Ŝ ne. Równowa Ŝ nie rz ą d elementu g mo Ŝ na zdefiniowa ć jako najmniejsz ą liczb ę N Z tak ą , Ŝ e g N = 1 (w notacji addytywnej Ng = 0) Z twierdzenia Lagrange'a Ord g jest dzielnikiem |G| je ś li G jest grup ą sko ń czon ą
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)