Permutacje zespolone - Twierdzenie Cayleya

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1442
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Permutacje zespolone - Twierdzenie Cayleya - strona 1 Permutacje zespolone - Twierdzenie Cayleya - strona 2 Permutacje zespolone - Twierdzenie Cayleya - strona 3

Fragment notatki:

Permutacja - odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru skończongo X na siebie.
Składanie permutacji - Permutacja odwrotna do danej permutacji g - permutacja g -1 , taka że Parzystość - permutacja p jest parzysta, jeśli liczba jej inwersji ( inv(p) ) jest parzysta
Grupa permutacji - zbiór S n wszystkich permutacji zbioru n-elementowego. Grupa permutacji S 3 - Grupa alternująca - podgr normalna A n grupy S n będąca zb permutacji parzystych zb. n-elementowego.
n=3 ∨ n≥5 ⇒ A n - grupa prosta, A 4 nie jest grupą prostą
Twierdzenie Cayleya o uniwersalności grup permutacji - Każda grupa skończona jest izomorficzna z pewną grupą permutacji.
Dowód:
Niech będzie dana grupa G n-elementowa
, G = {1, 2, 3, ... , n-1}
to h k (g) = k+g
Każde takie przyporządkowanie jest permutacją zbioru. Czy H k = {h k : k∈G} jest grupą?
(h k *h j )(g) = h j (h k (g)) = h j (k+g) = j+(k+g) = (j+k)+g = h j+k (g)
h 0 - element neutralny
działanie składania permutacji jest łączne
Jest. Zatem h jest homomorfizmem. Wiemy także, że h jest bijekcją. ⇒ h jest izomorfizmem.
Przykładowy rozkład permutacji na cykle :
f=
1 → 3 → 7 → 4 → 13 → 10 2 → 5 6 → 9 → 8 → 11 12
Graf permutacji - zapis graficzny permutacji w postaci cykli skierowanych (pętla własna - cykl długości 1).
Wektor struktury cyklicznej permutacji - c(f) = (c 1 , c 2 , ... , c n ), c k - liczba cykli długości k w grafie permutacji f.
Zapis wykładniczy i wielomianowy:
c(f) = - zapis wykładniczy c(f) = - zapis wielomianowy Wzór cykliczny Cauchy'ego - , gdzie f - permutacja o wektorze c(f) = ,
c(f) - liczba permutacji zbioru n-elementowego, które mają wektor cykliczny c(f).
Transpozycja f t - permutacja, w której tylko dwa elementy zamieniają się miejscami.
c(f t ) = , ξ 1 - zmienna związana z pętlą własną.
Elementy G-równoważne - o elementach x,y∈{1, ... , n} mówimy że są G-równoważne jeśli w grupie G istnieje permutacja f, taka że y = f(x)
x * y ⇔ y = f(x), G - grupa permutacji zbioru n-elementowego, czyli podgrupa n-tej grupy
symetrycznej
Relacja * jest relacją równoważności.
Orbita elementu ( G-warstwa lub G-orbita elementu x) - klasa abstrakcji elementu x.
W szczególnym przypadku, gdy G jest generowana przez permutację f (G={f, f 2 , f 3 , ...}), każda orbita jest zbiorem utworzonym z tych elementów, które są w tym samym cyklu.
G-stabilizator elementu k - zbiór tych permutacji f z grupy G, że f(k) = k


(…)

…: Każde ciało skończone jest rozszerzeniem pewnego GF(n); co więcej - każde z tych rozszerzeń liczy q = nm, gdzie n jest liczbą pierwszą a m∈N.
Konstrukcja ciała GF(4) - Ciało liczb zespolonych - Postać Hamiltona - z = (x,y), x = Re z, y = Im z Postać Gaussa - z = x+ iy, i2 = -1
Postać trygonometryczna - z = r (cos ϕ + i sin ϕ), r =z=, x = Re z, y = Im z
Moduł liczby zespolonej - z=, x = Re z, y = Im z
Argument liczby zespolonej - arg z = ϕ, z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r eiϕ Potęgowanie (wzór Moivre'a) - zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) = rn eniϕ Pierwiastkowanie - = , k = 0, 1, ... , n-1
Pierwiastki i pierwiastki pierwotne z jedności - Wprowadzenie liczb zespolonych przez wielomiany - Twierdzenie Cauchy'ego: Ciało liczb zespolonych C jest minimalnym rozszerzeniem ciała R liczb rzeczywistych o rozwiązania…
… działania ”*” względem działania ”+”.
Pierścień łączny - pierścień abstrakcyjny, w którym <S, *> jest półgrupą.
Pierścień z jednością - pierścień abstrakcyjny, w którym <S, *> jest monoidem.
Dzielniki zera - liczby x,y , takie że x,y∈S\{e1} ∧ x*y = e1, gdzie e1 - element neutralny grupy <S, +>.
Pierścień całkowity - pierścień abstrakcyjny bez dzielników zera, w którym <S, *> jest monoidem abelowym…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz