1 Podgrupa ☼ Definicja. Niepusty podzbiór H grupy G =(X, •) nazywa się podgrup ą grupy G , jeśli H jest grupą względem działania •, inaczej mówiąc H jest podgrupą G , jeśli spełnione są następujące warunki: 1. je eli a , b ∈ H , to a • b ∈ H ; 2. je eli a ∈ H , to a -1 ∈ H ; 3. jeśli e jest neutralny element grupy G , to e ∈ H . Grupę, która zawiera tylko jeden element, nazywamy grup ę trywialn ą. Podgrupę nazywamy wła ś ciw ą, gdy nie jest trywialną i nie jest całą grupą. Ka da podgrupa grupy przemiennej jest grupą przemienną. ◙ Przykłady ( Q +, ⋅ ) jest podgrupą ( Q \{0}, ⋅ ) (2 Z , +) jest podgrupą ( Z , +) Je eli a ∈ G , to H = { e = a 0, a , a 2, … } jest podgrupą grupy G . Twierdzenie 4.1. Dla dowolnej grupy (G, •) podzbiór niepusty (H, •) jest podgrupą G ⇔ x•y -1 ∈ H dla ∀x,y ∈ H. Grupa permutacji ☼ Definicja. Permutacj ą stopnia n nazywamy odwzorowanie wzajemne jednoznaczne σ : X → X zbioru skończonego X = {1, 2, ..., n } na siebie. σ = n a a a n ... ... 2 1 2 1 , gdzie σ( i ) = ai ∈ X, i = 1, 2, ..., n . S n - zbiór wszystkich permutacji stopnia n ◙ Przykład 2 1. X={1, 2}. S 2 = { e , s }, gdzie: e = 2 1 2 1 , s = 1 2 2 1 . 2. X={1, 2, 3}. S 3 = { e , s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 }: e = 3 2 1 3 2 1 , s 1 = 1 3 2 3 2 1 , s 2 = 2 1 3 3 2 1 , s 3 = 2 3 1 3 2 1 , s 4 = 1 2 3 3 2 1 , s 5 = 3 1 2 3 2 1 . Zło enie permutacji σ i τ nazywamy mno eniem permutacji i oznaczamy σ•τ: σ•τ(a) = σ(τ(a)) dla ∀a ∈X. Twierdzenie 4.2. Zbiór Sn wszystkich permutacji stopnia n względem mno enia permutacji tworzy grupę rządu r( Sn ) = n ! Dowód. Elementem neutralnym permutacji jest element e dla którego e(a) =a dla ∀a ∈X:
(…)
….
Elementem neutralnym permutacji jest element
e dla którego e(a) =a dla ∀a ∈X:
1 2 ... n
.
1 2 ... n
e=
Elementem odwrotnym do permutacji
1 2 ... n
a1 a2 ... an
σ =
jest permutacja
a1 a2 ... an
,
1 2 ... n
σ-1 =
którą otrzymujemy z permutacji σ zamieniając wiersz górny i dolny miejscami.
Grupa Sn nazywa się grupą symetryczną n-go stopnia. Ka da podgrupa grupy
Sn…
…)
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu tej grupy.
Dowód.
Jeśli H= {e=h1, h2, …, hm }, to
G= H•h1 ∪ H•h2 ∪ … ∪ H•hm
H•x = { h1•x, h2•x, …, hm•x }.
Jeśli hi•x= hj•x to hi•x•x-1 = hj•x•x-1, skąd hi=hj.
Zatem wszystkie elementy H•x są ro ne.
Stąd
| H•x | = | H | = m
Wtedy n = k⋅m, gdzie n = | G |, k – liczba warstw.
4
Definicja
Liczbę warstw rozłącznych, na które podgrupa H rozkłada grupę G…
…)
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu tej grupy.
Dowód.
Jeśli H= {e=h1, h2, …, hm }, to
G= H•h1 ∪ H•h2 ∪ … ∪ H•hm
H•x = { h1•x, h2•x, …, hm•x }.
Jeśli hi•x= hj•x to hi•x•x-1 = hj•x•x-1, skąd hi=hj.
Zatem wszystkie elementy H•x są ro ne.
Stąd
| H•x | = | H | = m
Wtedy n = k⋅m, gdzie n = | G |, k – liczba warstw.
4
Definicja
Liczbę warstw rozłącznych, na które podgrupa H rozkłada grupę G…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)