Algebra, podgrupa - wykład 4

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1071
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra, podgrupa - wykład 4 - strona 1 Algebra, podgrupa - wykład 4 - strona 2 Algebra, podgrupa - wykład 4 - strona 3

Fragment notatki:


  1 Podgrupa    ☼  Definicja.  Niepusty  podzbiór   H   grupy    G =(X,  •)  nazywa  się   podgrup ą  grupy   G ,  jeśli   H   jest  grupą  względem  działania  •,  inaczej  mówiąc   H   jest  podgrupą   G ,  jeśli  spełnione są następujące warunki:  1.   je eli  a , b ∈  H , to  a • b ∈  H ;  2.   je eli  a ∈  H , to  a -1   ∈  H ;  3.    jeśli   e  jest neutralny element grupy  G , to  e ∈  H .          Grupę,  która  zawiera  tylko  jeden  element,  nazywamy   grup ę     trywialn ą.  Podgrupę nazywamy  wła ś ciw ą, gdy nie jest trywialną i nie jest całą grupą.     Ka da podgrupa grupy przemiennej jest grupą przemienną.        ◙   Przykłady       ( Q +, ⋅ ) jest podgrupą ( Q \{0}, ⋅ )       (2 Z , +)  jest podgrupą ( Z , +)       Je eli  a  ∈  G , to  H = { e = a 0,  a ,  a 2, … } jest podgrupą grupy  G .    Twierdzenie 4.1.  Dla dowolnej grupy (G, •) podzbiór niepusty (H, •) jest podgrupą G  ⇔   x•y -1 ∈ H  dla  ∀x,y ∈ H.      Grupa permutacji    ☼  Definicja.  Permutacj ą   stopnia  n  nazywamy odwzorowanie wzajemne jednoznaczne σ : X  → X  zbioru  skończonego X  = {1, 2, ...,  n } na siebie.     σ =        n a a a n ... ... 2 1 2 1 ,  gdzie  σ( i ) =  ai  ∈ X,  i  = 1, 2, ...,  n .     S n - zbiór wszystkich permutacji stopnia  n      ◙   Przykład     2   1.  X={1, 2}.    S 2 = { e ,  s }, gdzie:  e  =        2 1 2 1 ,    s  =        1 2 2 1 .  2.  X={1, 2, 3}.   S 3 = {  e ,  s 1,  s 2,  s 3,  s 4,  s 5 }:    e  =        3 2 1 3 2 1 ,    s 1 =        1 3 2 3 2 1 ,  s 2 =        2 1 3 3 2 1 ,   s 3 =        2 3 1 3 2 1 ,    s 4 =        1 2 3 3 2 1 ,  s 5 =        3 1 2 3 2 1 .        Zło enie permutacji σ i τ  nazywamy  mno eniem permutacji i  oznaczamy σ•τ:    σ•τ(a) = σ(τ(a))  dla ∀a ∈X.    Twierdzenie 4.2.  Zbiór  Sn   wszystkich permutacji stopnia   n  względem mno enia permutacji  tworzy grupę  rządu   r(  Sn  ) =   n !    Dowód.    Elementem neutralnym permutacji jest element  e dla którego e(a) =a dla ∀a ∈X: 

(…)

….
Elementem neutralnym permutacji jest element
e dla którego e(a) =a dla ∀a ∈X:
1 2 ... n 
.

1 2 ... n 
e= 

Elementem odwrotnym do permutacji
1 2 ... n 


 a1 a2 ... an 
σ =

jest permutacja
 a1 a2 ... an 
,

1 2 ... n 
σ-1 = 

którą otrzymujemy z permutacji σ zamieniając wiersz górny i dolny miejscami.
Grupa Sn nazywa się grupą symetryczną n-go stopnia. Ka da podgrupa grupy
Sn…
…)
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu tej grupy.
Dowód.
Jeśli H= {e=h1, h2, …, hm }, to
G= H•h1 ∪ H•h2 ∪ … ∪ H•hm
H•x = { h1•x, h2•x, …, hm•x }.
Jeśli hi•x= hj•x to hi•x•x-1 = hj•x•x-1, skąd hi=hj.
Zatem wszystkie elementy H•x są ro ne.
Stąd
| H•x | = | H | = m
Wtedy n = k⋅m, gdzie n = | G |, k – liczba warstw.
4
Definicja
Liczbę warstw rozłącznych, na które podgrupa H rozkłada grupę G…
…)
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu tej grupy.
Dowód.
Jeśli H= {e=h1, h2, …, hm }, to
G= H•h1 ∪ H•h2 ∪ … ∪ H•hm
H•x = { h1•x, h2•x, …, hm•x }.
Jeśli hi•x= hj•x to hi•x•x-1 = hj•x•x-1, skąd hi=hj.
Zatem wszystkie elementy H•x są ro ne.
Stąd
| H•x | = | H | = m
Wtedy n = k⋅m, gdzie n = | G |, k – liczba warstw.
4
Definicja
Liczbę warstw rozłącznych, na które podgrupa H rozkłada grupę G…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz