Grupy symetryczne

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 1022
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Grupy symetryczne - strona 1 Grupy symetryczne - strona 2 Grupy symetryczne - strona 3

Fragment notatki:


S S T T T W W : : : Mówimy, Ŝ e grupa G działa na zbiorze X , je ś li okre ś lone jest odwzorowanie: ○ :G  X → X, które ka Ŝ dej parze (g, x) g  G, x  X przyporz ą dkowuje element g ○ x  X, taki, Ŝ e: (i) (gh) ○ x = g ○ (h ○ x) g, h  G x  X (ii) e ○ x = x x  X, e - element neutralny w grupie G. DEF : : : Homomorfizm grup permutacji nazywa si ę przedstawieniem grup. T T T W W I I I E E R R D D Z Z Z EN I I IE . . . ( ( (CA Y Y Y L L LE Y Y Y ` ` `A ) ) ) Ka Ŝ da grupa jest izomorficzna z pewn ą podgrupa grupy symetrycznej. S {1, …,n} = S n  , σ  S n - to σ oznacza zło Ŝ enie. Grupa S n działa na zbiorze R [x 1 , …, x n ] wielomianów o zmiennych x 1 , …, x n o współczynnikach z R : σ ○ f(x 1 , …, x n ) = (  n f x σ x σ ,..., 1 Niech   R [x 1 , …, x n ]  (x 1 , …, x n ) =    i j j i ( x x ) Zauwa Ŝ my, Ŝ e dla σ  S n mamy: σ ○  (x 1 , …, x n ) = (  (  (  (  ' min ( ( ), ( )  ' max ( ), ( ) 1 ' ' ( ) ( ) ' ' i i j j i j x x x x i j N j i i j j i σ σ σ σ σ σ           , gdzie N = # {(i, j)  {1, …, n} 2 : i

(…)


SST TTWW: ::
Mówimy, Ŝe grupa G działa na zbiorze X, jeśli określone jest odwzorowanie: ○:GX→X,
które kaŜdej parze (g, x) gG, xX przyporządkowuje element g○xX, taki, Ŝe:
(i) (gh)○x = g○(h○x) g, h  G xX
(ii) e○x = x xX, e - element neutralny w grupie G.
DEF: ::
Homomorfizm grup permutacji nazywa się przedstawieniem grup.
T TTWWI IIEERRDDZ ZZENIIIE...(((CAYYYLLLEYYY```A)))
KaŜda grupa…

' '
( ) ( ) ' ' i i j
j i j
x x x x
i j
N
j i
i j
j i σ σ
σ σ
σ σ 

    
 
,
gdzie N = # {(i, j)  {1, …, n}2: i<j  σ(i) < σ(j)}
„Liczba inwersji permutacji σ”
Oznaczamy sgn(σ) = (-1)N {1, -1} (znak permutacji)
S SST TTWW: ::
Odwzorowanie sgn: Sn → {-1 , 1} jest homorfizmem grup. (zbiór {-1, 1} rozpatrujemy z
działaniem mnoŜenia.)
DEF: ::
Permutacje o znaku +1 nazywamy parzystymi a pozostałe nieparzystymi…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz