Wykład 11
Grupy
Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i
działania binarnego ◦, które spełnia własności:
(i) Działanie ◦ jest łączne, czyli
∀a, b, c ∈ G a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c.
(ii) Działanie ◦ posiada element neutralny, to znaczy
∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a.
(iii) Każdy element jest odwracalny względem ◦, to znaczy
∀a ∈ G∃a ∈ G a ◦ a = a ◦ a = e,
gdzie e jest elementem neutralnym tego działania.
Jeśli dodatkowo
(iv) Działanie ◦ jest przemienne, to znaczy
∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a,
to grupę nazywamy grupą abelową (albo przemienną).
Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożonej ze zbioru i działania
(G, ◦).
Każdy element grupy jest odwracalny. Element odwrotny do a oznaczać będziemy przez a−1 .
Niepusty podzbiór H grupy G nazywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli:
(i) ∀h1 , h2 ∈ H h1 ◦ h2 ∈ H.
(ii) e ∈ H.
(iii) ∀h ∈ H h−1 ∈ H.
Łatwo zauważyć, że jeśli H jest podgrupą grupy G to struktura (H, ◦) jest
grupą.
Przykłady grup
1. (Z, +), (R, +) są grupami abelowymi.
2. Jeśli (P, +, ·) jest pierścieniem to (P, +) jest grupą abelową oraz (P ∗ , ·)
jest grupą (gdzie P ∗ oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia P ).
W szczególności zbiór macierzy n × n nad danym ciałem K, o wyznaczniku
niezerowym jest grupą ( dla n 1 nieabelową). Grupę tą oznaczamy przez
Gln (K) i mamy:
Gln (K) = {A ∈ Mn (K) : det A = 0}
1
Grupa ta jest nazywana grupą liniową macierzy n × n.
3. Zbiór Sln (K) = {A ∈ Mn : det A = 1} jest podgrupą grupy Gln (K)
(nazywaną specjalną grupą liniową).
4. Oznaczmy przez Sn zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} (czyli
wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie). Zbiór
ten wraz z działaniem składania przekształceń ◦ tworzy grupę (dla n 2
nieabelową). Jest to przykład grupy skończonej (to znaczy takiej, w której
zbiór G ma skończoną ilość elementów) bo Sn ma dokłanie n! elementów.
Na przykład
S3 = {σ0 , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 }
gdzie:
σ0 =
σ3 =
1
1
1
2
2
2
2
1
3
3
3
3
1
1
1
3
, σ1 =
, σ4 =
2
3
2
1
3
2
3
2
, σ2 =
, σ5 =
1
3
1
2
2
2
2
3
3
1
3
1
,
Sprawdza się bezpośrednio, że podgrupami grupy S3 są podzbiory:
{σ0 }
{σ0 , σ1 }
{σ0 , σ2 }
{σ0 , σ3 }
{σ0 , σ4 , σ5 }
S3
5. Podgrupą grupy Sn jest zbiór An złożony ze wszystkich permutacji parzystych zbioru {1, 2, . . . , n}. Na przykład
A3 =
1 2 3
1 2 3
,
1 2 3
3 1 2
,
1 2 3
2 3 1
Grupa (An , ◦) ma n! elementów i jest nieabelowa dla n 3.
2
6. Przekształcenie płaszczyzny (lub przestrzeni), które jest bijekcją i które nie
zmienia odległości punktów nazywamy izometrią płaszczyzny. Przykładami
izometrii są obroty oraz symetrie. Przekształceniem, które nie jest izometrią
jest na przykład rzutowanie na prostą. Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń jest grupą (nieabelową).
7. Niech F będzie pewną figurą na płaszczyźnie. Izometrią własną figury
F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F
na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem
(…)
… to każdy
element ma skończony rząd.
Dowód Niech a będzie elementem grupy G. Rozważmy zbiór potęg elementu
a:
{1, a, a2 , a3 , . . .}
Elementy te należą do G. Ponieważ G jest zbiorem skończonym to zbiór potęg
elementu a też jest skończony, a to oznacza, że istnieją liczby naturalne i = j,
że ai = aj i jeśli i < j to aj−i = e. To oznacza, że rząd elementu a jest
skończony.
4
Twierdzenie 2 Jeśli G1 i G2 są grupami…
…
F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F
na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem składania
przekształceń jest grupą.
2
Figurę F nazywamy n-kątem foremnym jeśli ma n równych boków i n równych kątów. Na przykład trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny,
czworokątem foremnym jest kwadrat itd. Oznaczmy przez Dn grupę izometrii własnych n-kąta…
… neutralny oznacza się
przez 0, a element odwrotny do a oznacza się przez −a. Zamiast potęgowania
wykonuje się mnożenie przez liczby całkowite:
0a = 0, na = a + . . . + a, (−n)a = (−a) + . . . + (−a)
n
n
Wtedy ta operacja ma analogiczne własności jak potęgowanie:
(i) (n + m)a = na + ma.
(ii) (nm)a = n(ma).
Niech a będzie elementem grupy G. Najmniejszą niezerową liczbę naturalną n, taką że an = e nazywamy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)