To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 11 Macierze cd. Jeśli macierz ma tyle samo wierszy co kolumn to macierz taką nazywa- my macierzą kwadratową . Mówimy, że A jest macierzą stopnia n jeśli ma wymiar n × n . Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o współ- czynnikach z ciała K oznaczać będziemy przez Mn ( K ). Jeśli A ∈ Mn ( K ) to: A = a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . an 1 an 2 . . . ann elementy a 11 , a 22 , . . . , ann nazywamy główną przekątną macierzy A . Ma- cierz kwadratową nazywamy macierzą trójkątną górną jeśli pod główną przekątną występują same zera. Analogicznie można mówić o macierzy trój- kątnej dolnej. Macierz nazywamy macierzą diagonalną jeśli jest zarazem macierzą trójkątną górną i macierzą trójkątną dolną. To znaczy macierz kwa- dratowa A = [ aij ] jest diagonalna jeśli aij = 0 dla i = j . Jeśli A, B są macierzami kwadratowymi stopnia n to istnieje iloczyn A · B i jest on również macierzą kwadratową stopnia n . Zatem mnożenie macierzy jest dobrze określonym działaniem w zbiorze Mn ( K ). Twierdzenie 1 Struktura ( Mn ( K ) , + , · ) jest pierścieniem z jednością. Po- nadto jeśli n 1 to pierścień ten jest nieprzemienny. Dowód 1. Udowodniliśmy na poprzednim wykładzie, że struktura ( Mn ( K ) , +) jest grupą abelową. 2. Działanie · jest łączne. Niech A, B, C ∈ Mn ( K ), wtedy: A = [ aij ] n×n, B = [ bij ] n×n, C = [ cij ] n×n. Niech D = A · B oraz E = B · C , i niech D = [ dij ] , E = [ eij ] i mamy: dij = n k =1 aikbkj, eij = n k =1 bikckj. Oznaczmy przez F = ( AB ) C = DC = [ fij ], a przez G = A ( BC ) = AE = [ gij ]. Wtedy mamy: fij = n l =1 dilclj = n l =1 n k =1 aikbkl clj = n l =1 n k =1 ( aikbklclj ) = n k =1 n l =1 ( aikbklclj ) = n k =1 aik n l =1 bklclj = n k =1 aikekj = gij 1 Stąd F = G , więc ( AB ) C = A ( BC ), czyli mnożenie jest łączne. 3. Działanie · jest rozdzielne względem +, zatem dla A, B, C ∈ Mn ( K ) mamy: A ( B + C ) = AB + AC. Dowodzi się to podobnie jak punkt 2. 4. Jednością pierścienia (czyli elementem neutralnym mnożenia macierzy) jest macierz I , która na głównej przekątnej ma jedynki, a w pozostałych miejscach 0, czyli I = [ δij ], gdzie: δij = 1 gdy i = j 0 gdy i = j Funkcja δij nazywana jest deltą Kroneckera . Możemy zapisać macierz I wprost: I =
(…)
… (o ile A jest symetryczna).
Macierz stopnia n nazywamy antysymetryczną jeśli AT = −A.
Zadanie Udowodnić, że jeśli macierz jest antysymetryczna to na głównej
przekątnej ma same zera.
Zadanie Udowodnić, że jeśli A i B są macierzami antysymetrycznymi to
A + B jest również antysymetryczna.
Macierze kwadratowe, które posiadają macierze odwrotne nazywać będziemy macierzami odwracalnymi. Zbiór macierzy odwracalnych stopnia n…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)