macierze - wykład 11

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 574
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
macierze - wykład 11 - strona 1 macierze - wykład 11 - strona 2 macierze - wykład 11 - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 11
Macierze cd.
Jeśli macierz ma tyle samo wierszy co kolumn to macierz taką nazywamy macierzą kwadratową. Mówimy, że A jest macierzą stopnia n jeśli ma
wymiar n × n. Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o współczynnikach z ciała K oznaczać będziemy przez Mn (K). Jeśli A ∈ Mn (K)
to:


a11 a12 . . . a1n
 a
a
. . . a2n 


A =  21 22

 ... ... ... ... 
an1 an2 . . . ann
elementy a11 , a22 , . . . , ann nazywamy główną przekątną macierzy A. Macierz kwadratową nazywamy macierzą trójkątną górną jeśli pod główną
przekątną występują same zera. Analogicznie można mówić o macierzy trójkątnej dolnej. Macierz nazywamy macierzą diagonalną jeśli jest zarazem
macierzą trójkątną górną i macierzą trójkątną dolną. To znaczy macierz kwadratowa A = [aij ] jest diagonalna jeśli aij = 0 dla i = j.
Jeśli A, B są macierzami kwadratowymi stopnia n to istnieje iloczyn A·B
i jest on również macierzą kwadratową stopnia n. Zatem mnożenie macierzy
jest dobrze określonym działaniem w zbiorze Mn (K).
Twierdzenie 1 Struktura (Mn (K), +, ·) jest pierścieniem z jednością. Ponadto jeśli n 1 to pierścień ten jest nieprzemienny.
Dowód
1. Udowodniliśmy na poprzednim wykładzie, że struktura (Mn (K), +) jest
grupą abelową.
2. Działanie · jest łączne. Niech A, B, C ∈ Mn (K), wtedy:
A = [aij ]n×n , B = [bij ]n×n , C = [cij ]n×n .
Niech D = A · B oraz E = B · C, i niech D = [dij ], E = [eij ] i mamy:
n
dij =
n
aik bkj , eij =
k=1
bik ckj .
k=1
Oznaczmy przez F = (AB)C = DC = [fij ], a przez G = A(BC) = AE =
[gij ]. Wtedy mamy:
n
fij =
n
n
n
n
dil clj =
l=1
l=1
n
k=1
(aik bkl clj ) =
k=1 l=1
n
n
aik bkl clj =
n
aik
k=1
(aik bkl clj ) =
l=1 k=1
n
bkl clj =
l=1
1
aik ekj = gij
k=1
Stąd F = G, więc (AB)C = A(BC), czyli mnożenie jest łączne.
3. Działanie · jest rozdzielne względem +, zatem dla A, B, C ∈ Mn (K) mamy:
A(B + C) = AB + AC.
Dowodzi się to podobnie jak punkt 2.
4. Jednością pierścienia (czyli elementem neutralnym mnożenia macierzy)
jest macierz I, która na głównej przekątnej ma jedynki, a w pozostałych
miejscach 0, czyli I = [δij ], gdzie:
1 gdy i = j
0 gdy i = j
δij =
Funkcja δij nazywana jest deltą Kroneckera. Możemy zapisać macierz I
wprost:


1 0 ... 0
 0
1 ... 0 


I=

 ... ... ... ... 
0 0 ... 1
Przykład Pierścień M2 (Z2 ) składa się z 16 macierzy 2×2 o współczynnikach
z ciała Z2 .
Można wprowadzić też mnożenie macierzy przez elementy ciała. Niech
A = [aij ] ∈ Mm,n i niech k ∈ K, wtedy:
kA = [kaij ].
Przykład




3
4
12 16



2  =  −4
8 
4 ·  −1

0 −2
0 −8
Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 będzie wielomianem o
współczynnikach z ciała K i niech A ∈ Mn (K), wtedy:
f (A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I.
Zadanie Wyznaczyć f (A), gdzie f (x) = x3 − 2x2 + 1,


2 1 0


A= 0 2 0 
1 1 1
2
Niech A = [aij ]m×n będzie macierzą m × n, o współczynnikach z ciała
K. Przez AT oznaczymy macierz o wymiarze n × m, powstałą z macierzy A
przez zamianę wierszy na kolumny.

(…)

… =
n
aik
k=1
(aik bkl clj ) =
l=1 k=1
n
bkl clj =
l=1
1
aik ekj = gij
k=1
Stąd F = G, więc (AB)C = A(BC), czyli mnożenie jest łączne.
3. Działanie · jest rozdzielne względem +, zatem dla A, B, C ∈ Mn (K) mamy:
A(B + C) = AB + AC.
Dowodzi się to podobnie jak punkt 2.
4. Jednością pierścienia (czyli elementem neutralnym mnożenia macierzy)
jest macierz I, która na głównej przekątnej ma jedynki…
… (o ile A jest symetryczna).
Macierz stopnia n nazywamy antysymetryczną jeśli AT = −A.
Zadanie Udowodnić, że jeśli macierz jest antysymetryczna to na głównej
przekątnej ma same zera.
Zadanie Udowodnić, że jeśli A i B są macierzami antysymetrycznymi to
A + B jest również antysymetryczna.
Macierze kwadratowe, które posiadają macierze odwrotne nazywać będziemy macierzami odwracalnymi. Zbiór macierzy odwracalnych stopnia n…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz