Wykład 2 Niech V będzie przestrzenią liniową i niech U , W będą podprzestrzeniami V wtedy będziemy mówić, że V jest sumą prostą przestrzeni U i V jeśli: 1. V = U + W , 2. U ∩ W = { 0 } , i będziemy używać zapisu: V = U ⊕ W . Przykład Przestrzeń R 2 jest sumą prostą podprzestrzeni U = { ( x, 0); x ∈ R } i W = { (0 , y ); y ∈ R } . Niech v 1 , v 2 , . . . , vn będą wektorami w przestrzeni V i niech k 1 , k 2 , . . . , kn ∈ K będą skalarami wtedy wektor: k 1 v 1 + k 2 v 2 + · · · + knvn nazywamy liniową kombinacją wektorów v 1 , v 2 , . . . , vn o współczynnikach k 1 , k 2 , . . . , kn . Niech A ⊆ V będzie niepustym podzbiorem w V . Wtedy przez Lin ( A ) ozna- czać będziemy zbiór wszystkich możliwych skończonych kombinacji liniowych wektorów ze zbioru A , czyli: Lin ( A ) = {k 1 a 1 + · · · + knan ; ai ∈ A, ki ∈ K, n ∈ N } Lin ( A ) nazywać będziemy domknięciem liniowym zbioru A . Twierdzenie 1 Zbiór Lin ( A ) jest podprzestrzenią przestrzeni V . Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V zawierająca zbiór A. Własności funkcji Lin (): 1. Lin ( Lin ( A )) = Lin ( A ), 2. Lin ( A ∩ B ) ⊆ Lin ( A ) ∩ Lin ( B ). Jeśli dla pewnego A ⊂ V mamy Lin ( A ) = V to będziemy mówić, że zbiór A generuje V lub, że A jest zbiorem generatorów przestrzeni V . Mówimy, że układ wektorów v 1 , v 2 , . . . , vn ∈ V jest liniowo niezależny jeśli: k 1 v 1 + k 2 v 1 + · · · + knvn = 0 ⇒ k 1 = k 2 = . . . = kn = 0 Jeśli układ wektorów nie jest liniowo niezależny to mówimy, że jest to układ liniowo zależny . Przykłady 1. Wektory (1 , 2 , 3 , 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (1 , 0 , 0 , 0) są liniowo niezależne w przestrzeni R 4. 2. Wektory (1 , 1 , 1 , 1) , (2 , 3 , 4 , 5) , (3 , 4 , 5 , 6) są liniowo zależne bo: (1 , 1 , 1 , 1) + (2 , 3 , 4 , 5) − (3 , 4 , 5 , 6) = (0 , 0 , 0 , 0) . 1 3. Wektory 1 , x, . . . , xn są liniowo niezależne w przestrzeni R[ x ]. 4. Funkcje sin x , cos x są liniowo niezależne w przestrzeni C . 5. Jeśli wśród wektorów v 1 , v 2 , . . . , vn jest wektor zerowy to układ ten jest liniowo zależny. Jeśli w układzie tym dwa wektory się powtarzają to też są liniowo zależne. 6. Można też mówić o liniowej niezależności jednego wektora v , a mianowicie: wektor v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy v = 0 . Rozpatrzmy jeszcze jeden przykład:
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)