Przestrzenie liniowe i wektory

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 889
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Przestrzenie liniowe i wektory - strona 1 Przestrzenie liniowe i wektory - strona 2 Przestrzenie liniowe i wektory - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 2 Niech  V  będzie przestrzenią liniową i niech  U  ,  W  będą podprzestrzeniami  V wtedy będziemy mówić, że  V  jest  sumą prostą  przestrzeni  U  i  V  jeśli: 1.  V  =  U  +  W  , 2.  U ∩ W  =  { 0 } , i będziemy używać zapisu:  V  =  U ⊕ W  . Przykład  Przestrzeń R 2 jest sumą prostą podprzestrzeni  U  =  { ( x,  0);  x ∈ R }  i  W  =  { (0 , y );  y ∈  R } . Niech  v 1 , v 2 , . . . , vn  będą wektorami w przestrzeni  V  i niech  k 1 , k 2 , . . . , kn ∈ K będą skalarami wtedy wektor: k 1 v 1 +  k 2 v 2 +  · · ·  +  knvn nazywamy  liniową kombinacją  wektorów  v 1 , v 2 , . . . , vn  o współczynnikach k 1 , k 2 , . . . , kn . Niech  A ⊆ V  będzie niepustym podzbiorem w  V  . Wtedy przez  Lin ( A ) ozna- czać będziemy zbiór wszystkich możliwych skończonych kombinacji liniowych wektorów ze zbioru  A , czyli: Lin ( A ) =  {k 1 a 1 +  · · ·  +  knan ;  ai ∈ A, ki ∈ K, n ∈  N } Lin ( A ) nazywać będziemy domknięciem liniowym zbioru  A . Twierdzenie 1  Zbiór Lin ( A )  jest podprzestrzenią przestrzeni V . Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V zawierająca zbiór A. Własności funkcji  Lin (): 1.  Lin ( Lin ( A )) =  Lin ( A ), 2.  Lin ( A ∩ B )  ⊆ Lin ( A )  ∩ Lin ( B ). Jeśli dla pewnego  A ⊂ V  mamy  Lin ( A ) =  V  to będziemy mówić, że zbiór  A generuje  V  lub, że  A  jest zbiorem generatorów przestrzeni  V  . Mówimy, że układ wektorów  v 1 , v 2 , . . . , vn ∈ V  jest  liniowo niezależny  jeśli: k 1 v 1 +  k 2 v 1 +  · · ·  +  knvn  =  0  ⇒ k 1 =  k 2 =  . . .  =  kn  = 0 Jeśli układ wektorów nie jest liniowo niezależny to mówimy, że jest to układ liniowo zależny . Przykłady 1. Wektory (1 ,  2 ,  3 ,  1) ,  (1 ,  1 ,  1 ,  1) ,  (1 ,  0 ,  0 ,  0) są liniowo niezależne w przestrzeni R 4. 2. Wektory (1 ,  1 ,  1 ,  1) ,  (2 ,  3 ,  4 ,  5) ,  (3 ,  4 ,  5 ,  6) są liniowo zależne bo: (1 ,  1 ,  1 ,  1) + (2 ,  3 ,  4 ,  5)  −  (3 ,  4 ,  5 ,  6) = (0 ,  0 ,  0 ,  0) . 1 3. Wektory 1 , x, . . . , xn  są liniowo niezależne w przestrzeni R[ x ]. 4. Funkcje sin  x , cos  x  są liniowo niezależne w przestrzeni  C . 5. Jeśli wśród wektorów  v 1 , v 2 , . . . , vn  jest wektor zerowy to układ ten jest liniowo zależny. Jeśli w układzie tym dwa wektory się powtarzają to też są liniowo zależne. 6. Można też mówić o liniowej niezależności jednego wektora  v , a mianowicie: wektor  v  jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy  v  =  0 . Rozpatrzmy jeszcze jeden przykład: ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz