Wykład 2
Niech V będzie przestrzenią liniową i niech U , W będą podprzestrzeniami V
wtedy będziemy mówić, że V jest sumą prostą przestrzeni U i V jeśli:
1. V = U + W ,
2. U ∩ W = {0},
i będziemy używać zapisu: V = U ⊕ W .
Przykład Przestrzeń R2 jest sumą prostą podprzestrzeni U = {(x, 0); x ∈
R} i W = {(0, y); y ∈ R}.
Niech v1 , v2 , . . . , vn będą wektorami w przestrzeni V i niech k1 , k2 , . . . , kn ∈ K
będą skalarami wtedy wektor:
k1 v 1 + k2 v 2 + · · · + k n v n
nazywamy liniową kombinacją wektorów v1 , v2 , . . . , vn o współczynnikach
k1 , k2 , . . . , kn .
Niech A ⊆ V będzie niepustym podzbiorem w V . Wtedy przez Lin(A) oznaczać będziemy zbiór wszystkich możliwych skończonych kombinacji liniowych
wektorów ze zbioru A, czyli:
Lin(A) = {k1 a1 + · · · + kn an ; ai ∈ A, ki ∈ K, n ∈ N}
Lin(A) nazywać będziemy domknięciem liniowym zbioru A.
Twierdzenie 1 Zbiór Lin(A) jest podprzestrzenią przestrzeni V . Jest to
najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V zawierająca zbiór A.
Własności funkcji Lin():
1. Lin(Lin(A)) = Lin(A),
2. Lin(A ∩ B) ⊆ Lin(A) ∩ Lin(B).
Jeśli dla pewnego A ⊂ V mamy Lin(A) = V to będziemy mówić, że zbiór A
generuje V lub, że A jest zbiorem generatorów przestrzeni V .
Mówimy, że układ wektorów v1 , v2 , . . . , vn ∈ V jest liniowo niezależny jeśli:
k1 v 1 + k2 v 1 + · · · + k n v n = 0 ⇒ k1 = k 2 = . . . = kn = 0
Jeśli układ wektorów nie jest liniowo niezależny to mówimy, że jest to układ
liniowo zależny.
Przykłady
1. Wektory (1, 2, 3, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0) są liniowo niezależne w przestrzeni
R4 .
2. Wektory (1, 1, 1, 1), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) są liniowo zależne bo:
(1, 1, 1, 1) + (2, 3, 4, 5) − (3, 4, 5, 6) = (0, 0, 0, 0).
1
3. Wektory 1, x, . . . , xn są liniowo niezależne w przestrzeni R[x].
4. Funkcje sin x, cos x są liniowo niezależne w przestrzeni C.
5. Jeśli wśród wektorów v1 , v2 , . . . , vn jest wektor zerowy to układ ten jest
liniowo zależny. Jeśli w układzie tym dwa wektory się powtarzają to też są
liniowo zależne.
6. Można też mówić o liniowej niezależności jednego wektora v, a mianowicie:
wektor v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy v = 0.
Rozpatrzmy jeszcze jeden przykład:
Sprawdzimy, czy wektory (1, 1, 1, 1), (2, 1, 2, 1), (2, 3, 4, 1), (1, 2, 3, 4) są liniowo niezależne w przestrzeni R4 . Musimy sprawdzić dla jakich x, y, z, t liniowa
kombinacja: x(1, 1, 1, 1) + y(2, 1, 2, 1) + z(2, 3, 4, 1) + t(1, 2, 3, 4) jest równa zero, czyli badamy rozwiązania równania:
x(1, 1, 1, 1) + y(2, 1, 2, 1) + z(2, 3, 4, 1) + t(1, 2, 3, 4) = (0, 0, 0, 0).
Zadanie to sprowadza się do badania rozwiązalności układu równań:
x + 2y + 2z + t = 0
x + y + 3z + 2t = 0
x + 2y + 4z + 3t = 0
x + y + z + 4t = 0
układ ten można zapisać w postaci macierzowej:
1
1
1
1
2
1
2
1
2
3
4
1
1
2
3
4
x
y
z
t
=
0
0
0
0
Zauważmy, że kolumnami macierzy współczynników są po prostu wyjściowe
wektory. Wiemy z teorii równań jednorodnych, że nasz układ
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)