Algebra - Twierdzenie Cayley

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 1176
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra - Twierdzenie  Cayley - strona 1 Algebra - Twierdzenie  Cayley - strona 2 Algebra - Twierdzenie  Cayley - strona 3

Fragment notatki:

  1 Wykład 7    Twierdzenie  (Cayley)  Ka da  grupa    (G,  ⋅)    jest  izomorficzna  z    podgrupą  grupy  symetrycznej        (S(G), °).    Dowód.   Dla ka dego a ∈ G określimy funkcje fa : G → G tak  e fa(x) = a⋅x. Poka emy,  e fa jest bijekcją. Dla ka dego y ∈ G mamy fa(a -1 ⋅y) = a⋅(a-1 ⋅y) = y, zatem f a  jest surjekcją. Je eli fa(x) = fa(y), to a⋅x = a⋅y, skąd x=y.  Takim czynem, fa jest  bijekcją, tz. fa ∈ S(G).    Poka emy,  e (H, °), gdzie                   H={ fa ∈ S(G) | a ∈ G}   jest podgrupą grupy (S(G), °) izomorficzną z (G, ⋅).  Określimy funkcje   ϕ: G →S(G) wzorem ϕ( a ) = fa. Z prawa łączności grupy G mamy:  ϕ(ab)(x)=fa⋅b(x) = (a⋅b) ⋅x=a⋅ (b⋅x)=fa(b⋅x)=fa °fb(x) = (ϕ(a) ϕ(b))(x), a więc  ϕ(ab)=fab=fa ° fb= ϕ(a) ϕ(b) co oznacza,  e ϕ jest homomorfizmem grup.     Poka emy,  e ϕ jest izomorfizmem. Jest ona oczywiście surjektywna. Je eli   ϕ(a) = ϕ(b), to fa(x) = fb(x), dla ka dego x. Stąd a⋅x = b⋅x, co pokazuje,  e a=b.  Takim czynom, ϕ jest izomorfizmem i (G, ⋅) ≅ Im(ϕ) = (H, °) ⊆ (S(G), °).     Wniosek.   Jeśli G jest skończoną grupą rzędu n, to G jest izomorficzna z podgrupą grupy  permutacji Sn.     Grupy macierzy    Mn(R) – macierze kwadratowe stopnia n z elementami z R  Mn(C) – macierze kwadratowe stopnia n z elementami z C    k= R lub C    1. GL(n, k)  -  pełna grupa liniowa  stopnia n nad k:   GL(n, k) = {  A  ∈ Mn(k) |  det( A ) ≠ 0}     2.  En – przestrzeń  Euklidesa, tz. przestrzeń  R n,  z iloczynem skalarnym    (x,y) = x1y1+ x2y2+ … + xnyn)    O(n) –  grupa ortogonalna  – przekształcenia liniowy na En, które zachowują  iloczyn skalarny: ( A x,  A y) = (x,y)     2 O(n) = {  A  ∈ Mn(R) |  A ⋅ A T = I n }    A  ∈ O(n) ⇒ det(A) = ± 1.    det : O(n) → {1, -1}     Ker (det) = SO(n) = { A   ∈ Mn(R) |  det(A)=1 } –  specjalna grupa ortogonalna   stopnia n     n=2:     A=        − ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos     3.  U(n) = {  A  ∈ Mn(C) |  A -1 = ( A *)T } –  grupa unitarna           SU(n) = {  A  ∈ Mn(C) |  A -1 = ( A *)T , det( A ) =1} –  specjalna grupa unitarna       Wprowadzenie do teorii liczb    1. Podzielno ść      Definicja   Jeśli  m ,  n  ∈ Z ,  i  m  ≠0, to mówimy,  e liczba  m  dzieli  n    (lub  m  jest dzielnikiem  n ) i piszemy  m | n , jeśli ∃  k

(…)

… jak i n.
Największa liczba całkowita d dla której d|m oraz d|m nazywamy największym
wspólnym dzielnikiem liczb m i n i oznaczamy NWD(m,n).
NWD(m,0) = m
NWD(14,7) = 7
NWD(120,500) = 20
Lemma
Dla ∀m, n ∈ Z i n ≠0
NWD(m, n) = NWD(n, m mod n)
NWD(45, 12) = NWD(12, 45 mod 12) = NWD(12, 9)=
NWD(9, 12 mod 9) =NWD(9, 3) = NWD(3, 9 mod 3)=
NWD(3,0)=3.
Algorytm Euklidesa
Dane: liczby całkowite m ≥ 0, n > 0.
Wyniki…
….
Zasada indukcji matematycznej: Je eli A jest podzbiorem zbioru liczb
naturalnych N takim, ze spełnione są warunki (1), (2):
(1) 1 ∈ A;
(2) dla ka dej liczby naturalnej n, je eli n ∈ A, to suc(n) ∈ A,
to A = N.
Przykład
Ka da liczba postaci n3-n dla n ∈ N jest podzielna przez 3.
Indukcja matematyczna
A = { n ∈N : T(n) }
T(n) – funkcja zdaniowa (własność liczb naturalnych)
Niech ka dej liczbie naturalnej n przyporządkowane będzie zdanie T(n).
Wówczas, jeśli
1) T(1) jest prawdziwe;
2) Dla ka dej liczby naturalnej n: z zało enia, e T(n) jest prawdziwe
wynika, e prawdziwe jest T(n+1),
To T(n) jest prawdziwe dla wszystkich n ∈ N.
Niech ka dej liczbie całkowitej naturalnej n przyporządkowane będzie zdanie
T(n). Wówczas, jeśli
9
3) T(m) jest prawdziwe, gdzie m ∈ Z;
4) Dla ka dej liczby całkowitej n…
… t; y= t; t=w;
powrót do kroku 2.
Twierdzenie
Niech m, n ∈ Z oraz d = NWD(m, n). Wtedy istnieją liczby całkowite x, y
takie, e
d = x⋅m + y⋅n
2. Liczby pierwsze
Definicja
Dodatnia liczba naturalna p nazywana jest liczbą pierwszą, gdy ma dokładnie
dwa dzielnika: 1 oraz p. Inne liczby naturalne nazywamy liczbami zło onymi.
5
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Ka da liczba naturalna n ≥ 2 mo e być jednoznacznie przedstawiona jako
n = p1e ... pke ,
gdzie p1, p2,…, pk- liczby pierwsze, p1 < p2 <… < pk,
e1, e2,…, ek – liczby naturalne
1
k
450 = 2⋅32⋅52
Definicja
Liczby całkowite m, n nazywamy względne pierwsze, gdy nie maja wspólnych
dzielników pierwszych, chyli
NWD(m, n)=1.
Lemma
Niech a, b, c ∈ N oraz 1= NWD(a, b). Wtedy:
1) b | ac ⇒ b | c
2) ( a | c ) ∧ ( b | c) ⇒ ab | c
Podstawowa własność liczb…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz