1 Wykład 7 Twierdzenie (Cayley) Ka da grupa (G, ⋅) jest izomorficzna z podgrupą grupy symetrycznej (S(G), °). Dowód. Dla ka dego a ∈ G określimy funkcje fa : G → G tak e fa(x) = a⋅x. Poka emy, e fa jest bijekcją. Dla ka dego y ∈ G mamy fa(a -1 ⋅y) = a⋅(a-1 ⋅y) = y, zatem f a jest surjekcją. Je eli fa(x) = fa(y), to a⋅x = a⋅y, skąd x=y. Takim czynem, fa jest bijekcją, tz. fa ∈ S(G). Poka emy, e (H, °), gdzie H={ fa ∈ S(G) | a ∈ G} jest podgrupą grupy (S(G), °) izomorficzną z (G, ⋅). Określimy funkcje ϕ: G →S(G) wzorem ϕ( a ) = fa. Z prawa łączności grupy G mamy: ϕ(ab)(x)=fa⋅b(x) = (a⋅b) ⋅x=a⋅ (b⋅x)=fa(b⋅x)=fa °fb(x) = (ϕ(a) ϕ(b))(x), a więc ϕ(ab)=fab=fa ° fb= ϕ(a) ϕ(b) co oznacza, e ϕ jest homomorfizmem grup. Poka emy, e ϕ jest izomorfizmem. Jest ona oczywiście surjektywna. Je eli ϕ(a) = ϕ(b), to fa(x) = fb(x), dla ka dego x. Stąd a⋅x = b⋅x, co pokazuje, e a=b. Takim czynom, ϕ jest izomorfizmem i (G, ⋅) ≅ Im(ϕ) = (H, °) ⊆ (S(G), °). Wniosek. Jeśli G jest skończoną grupą rzędu n, to G jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji Sn. Grupy macierzy Mn(R) – macierze kwadratowe stopnia n z elementami z R Mn(C) – macierze kwadratowe stopnia n z elementami z C k= R lub C 1. GL(n, k) - pełna grupa liniowa stopnia n nad k: GL(n, k) = { A ∈ Mn(k) | det( A ) ≠ 0} 2. En – przestrzeń Euklidesa, tz. przestrzeń R n, z iloczynem skalarnym (x,y) = x1y1+ x2y2+ … + xnyn) O(n) – grupa ortogonalna – przekształcenia liniowy na En, które zachowują iloczyn skalarny: ( A x, A y) = (x,y) 2 O(n) = { A ∈ Mn(R) | A ⋅ A T = I n } A ∈ O(n) ⇒ det(A) = ± 1. det : O(n) → {1, -1} Ker (det) = SO(n) = { A ∈ Mn(R) | det(A)=1 } – specjalna grupa ortogonalna stopnia n n=2: A= − ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos 3. U(n) = { A ∈ Mn(C) | A -1 = ( A *)T } – grupa unitarna SU(n) = { A ∈ Mn(C) | A -1 = ( A *)T , det( A ) =1} – specjalna grupa unitarna Wprowadzenie do teorii liczb 1. Podzielno ść Definicja Jeśli m , n ∈ Z , i m ≠0, to mówimy, e liczba m dzieli n (lub m jest dzielnikiem n ) i piszemy m | n , jeśli ∃ k
(…)
… jak i n.
Największa liczba całkowita d dla której d|m oraz d|m nazywamy największym
wspólnym dzielnikiem liczb m i n i oznaczamy NWD(m,n).
NWD(m,0) = m
NWD(14,7) = 7
NWD(120,500) = 20
Lemma
Dla ∀m, n ∈ Z i n ≠0
NWD(m, n) = NWD(n, m mod n)
NWD(45, 12) = NWD(12, 45 mod 12) = NWD(12, 9)=
NWD(9, 12 mod 9) =NWD(9, 3) = NWD(3, 9 mod 3)=
NWD(3,0)=3.
Algorytm Euklidesa
Dane: liczby całkowite m ≥ 0, n > 0.
Wyniki…
….
Zasada indukcji matematycznej: Je eli A jest podzbiorem zbioru liczb
naturalnych N takim, ze spełnione są warunki (1), (2):
(1) 1 ∈ A;
(2) dla ka dej liczby naturalnej n, je eli n ∈ A, to suc(n) ∈ A,
to A = N.
Przykład
Ka da liczba postaci n3-n dla n ∈ N jest podzielna przez 3.
Indukcja matematyczna
A = { n ∈N : T(n) }
T(n) – funkcja zdaniowa (własność liczb naturalnych)
Niech ka dej liczbie naturalnej n przyporządkowane będzie zdanie T(n).
Wówczas, jeśli
1) T(1) jest prawdziwe;
2) Dla ka dej liczby naturalnej n: z zało enia, e T(n) jest prawdziwe
wynika, e prawdziwe jest T(n+1),
To T(n) jest prawdziwe dla wszystkich n ∈ N.
Niech ka dej liczbie całkowitej naturalnej n przyporządkowane będzie zdanie
T(n). Wówczas, jeśli
9
3) T(m) jest prawdziwe, gdzie m ∈ Z;
4) Dla ka dej liczby całkowitej n…
… t; y= t; t=w;
powrót do kroku 2.
Twierdzenie
Niech m, n ∈ Z oraz d = NWD(m, n). Wtedy istnieją liczby całkowite x, y
takie, e
d = x⋅m + y⋅n
2. Liczby pierwsze
Definicja
Dodatnia liczba naturalna p nazywana jest liczbą pierwszą, gdy ma dokładnie
dwa dzielnika: 1 oraz p. Inne liczby naturalne nazywamy liczbami zło onymi.
5
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
Ka da liczba naturalna n ≥ 2 mo e być jednoznacznie przedstawiona jako
n = p1e ... pke ,
gdzie p1, p2,…, pk- liczby pierwsze, p1 < p2 <… < pk,
e1, e2,…, ek – liczby naturalne
1
k
450 = 2⋅32⋅52
Definicja
Liczby całkowite m, n nazywamy względne pierwsze, gdy nie maja wspólnych
dzielników pierwszych, chyli
NWD(m, n)=1.
Lemma
Niech a, b, c ∈ N oraz 1= NWD(a, b). Wtedy:
1) b | ac ⇒ b | c
2) ( a | c ) ∧ ( b | c) ⇒ ab | c
Podstawowa własność liczb…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)