Arytmetyka modulowa algebra

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 763
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Arytmetyka modulowa algebra - strona 1 Arytmetyka modulowa algebra - strona 2 Arytmetyka modulowa algebra - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 3 Arytmetyka modulo  n Niech  n  będzie dodatnią liczbą całkowitą ( n   0) i niech  a, b ∈  Z. Mówi- my, że  a  przystaje do  b  modulo  n  jeśli  n| ( a − b ) i piszemy wtedy  a ≡ b  mod  n . Relacja przystawania modulo  n  jest relacją równoważności. Rzeczywiście relacja jest zwrotna bo dla każdej liczby całkowitej  a , liczba 0 =  a − a  jest podzielna przez  n . Zatem  a ≡ a  mod  n . Relacja ta jest również symetryczna bo jeśli  n| ( a − b ) to również  n| ( b − a ), bo  b − a  =  − ( a − b ). Relacja jest przechodnia, bo jeśli  n| ( a − b ) i  n| ( b − c ) to również  n  dzieli ( a − b ) + ( b − c ) = a − c , a więc  n| ( a − c ). Relacja przystawania modulo  n  ma jeszcze jedną bardzo ważną własność: jeśli a ≡ b  mod  n c ≡ d  mod  n to  a  +  c ≡ b  +  d  mod  n  i  a · c ≡ b · d  mod  n . Każdą relację równoważności, która spełnia powyższą własność nazywać będziemy kongruencją  w Z. Oznaczmy przez [ a ] klasę abstrakcji elementu  a  względem relacji przysta- wania modulo  n , a więc: [ a ] =  {b ∈  Z :  n| ( a − b ) } Można zauważyć, że klasa abstrakcji elementu  a  jest wyznaczona przez resztę z dzielenia tego elementu przez  n  i że dwa elementy są w relacji wtedy i tylko wtedy gdy dają tę samą resztę przy dzieleniu przez  n . A więc w tym przypadku mamy dokładnie  n  różnych klas abstrakcji: [0] =  {x ∈  Z :  n|x}  =  n Z [1] =  {x ∈  Z :  n| ( x −  1) }  = 1 +  n Z [2] =  {x ∈  Z :  n| ( x −  2) }  = 2 +  n Z .. . [ n −  1] =  {x ∈  Z :  n| ( x −  ( n −  1)) }  = ( n −  1) +  n Z Zamiast zapisu [ a ] będziemy zwykle używać zapisu a , a czasem będziemy opuszczać kreskę nad elementem. Przez  Zn  oznaczać będziemy zbiór klas abstrakcji relacji przystawania modulo  n , a więc: Zn  =  { 0 ,  1 , . . . , n −  1 } 1 W zbiorze  Zn  można wprowadzić następujące działania: ¯ a  + n  ¯ b  =  a  +  b ¯ a ·n  ¯ b  =  a · b Czy działania te są dobrze określone? Czy może się zdarzyć taka sytuacja, że a  =  c, b  =  d  a  a  +  c  =  b  +  d  lub  a · c  =  b · d ? Otóż nie, a wynika to z faktu, że relacja przystawania modulo  n  jest kongruencją. Jeśli mamy a  =  c, b  =  d to  a ≡ c  mod  n, b ≡ d  mod  n , a stąd  a  +  c ≡ b  +  d  mod  n, a · c ≡ b · d  mod  n , a więc  a  +  c  =  b  +  d  i  a · c  =  b · d Oczywiście spełniona jest następująca własność:

(…)

… element odwrotny (jeśli istnieje) do 25 modulo 34.
Bezpośrednią konsekwencją tego Twierdzenia jest następujące Twierdzenie:
Twierdzenie 3 Jeśli p > 0 jest liczbą pierwszą to w pierścieniu Zp każdy
niezerowy elemnt jest odwracalny.
Niezerowy element a pierścienia Zn nazywamy dzielnikiem zera jeśli istnieje niezerowy element b, taki że ab = 0 w Zn . Na przykład element 2 jest
dzielnikiem zera w Z6 bo w Z6…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz