Wykład 9 Wielomiany jednej zmiennej ☼ Definicja Wielomianem stopnia n ∈ N ∪{0} nad pierścieniem K nazywamy funkcję P : K → K określoną wzorem: P ( x ) = anx n + a n -1 x n -1+… + a 1 x 1+ a 0, gdzie ai ∈ K dla i =0,1,..., n oraz an ≠ 0. Ponadto przyjmujemy, e funkcja P ( x )≡0 jest wielomianem stopnia ∞. Elementy ai ∈ K dla i =0,1,..., n nazywamy współczynnikami wielomianu P ( x ). Współczynnik a 0 nazywamy wyrazem wolnym , a współczynnik an nazywamy najwy szym współczynnikiem wielomianu. Liczbę n nazywamy stopieniem wielomianu P ( x ) i oznaczamy przez deg( P ). Stopień wielomianu będącego funkcją stałą jest 0. ◙ Przykłady P ( x ) = 2 x 3 – 1/3 x +12, deg(P)=3 P ( x ) = 2 ix 7 + 3/4 x 3 – (1+4 i ) x 2 + (2-3 i ), deg(P)=7 Mówimy, e dwa wielomiany P ( x ) = anx n + a n -1 x n -1+… + a 1 x 1+ a 0 i Q ( x ) = bmx m + b m -1 x m -1+…+ b 1 x + b 0 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy n = m i ai = bi dla ka dego i =1,2,..., n . Oznaczymy przez K [ x ] zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej x nad pierścieniem K . Je eli P ( x ), Q ( x ) ∈ K [ x ], to mo emy w sposób naturalny określić sumę, ró nicę i iloczyn wielomianów, mianowicie: ( P + Q )( x ) = P ( x )+ Q ( x ) ( P - Q )( x ) = P ( x )- Q ( x ) ( P ⋅ Q )( x ) = P ( x ) Q ( x ). 2 ◙ Przykłady P ( x ) = 3 x 2+ x -5 i Q ( x ) = 2 x +3. Wtedy ( P + Q )( x ) = 3 x 2+3 x -2, ( P - Q )( x ) = 3 x 2- x -8, ( PQ )( x ) = 6 x 3+11 x 2-7 x -15. ◘ Twierdzenie Zbiór K [ x ] wszystkich wielomianów nad pierścieniem K względem dodawania i mno enia jest pierścieniem przemiennym z jednością. ◘ Twierdzenie Niech P ( x ), Q ( x ) będą niezerowymi wielomianami pierścieni K [ x ], wtedy deg( P + Q ) ≤ max(deg P , deg Q ) deg( PQ ) = deg P +deg Q Dowód. Niech P ( x ) = anx n + a n -1 x n -1+… + a 1 x 1+ a 0 i Q ( x ) = bmx m + b m -1 x m -1+…+ b 1 x + b 0, gdzie an ≠0 i bm ≠0. Wtedy P ( x )+ Q ( x ) = ( as + bs ) x s + ( a s -1+ bs -1) x s -1+… +( a 1+ b 1) x 1+ ( a 0+ b 0), gdzie s =max(deg P , deg Q ). Poniewa deg( P + Q
(…)
…(P)=2, deg(Q)=1
deg(P+Q)=2 =max{deg(P), deg(Q)}
2. P(x) = 3x2+x-5 i Q(x) =-3x2 - 2x+3.
(P+Q)(x) = - x-2,
deg(P)=2, deg(Q)=2
deg(P+Q)=1 <max{deg(P), deg(Q)}=2
◘ Twierdzenie
Je eli K jest pierścieniem całkowitym, to K[x] jest równie
pierścieniem całkowitym.
Dowód. Niech P(x), Q(x) są niezerowymi wielomianami w K[x].
Wtedy deg(PG)=degP+degQ >0 i stąd wynika, e P(x)Q(x)≠0. ♦
Algorytm Euklidesa…
…(x)S(x) + R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q.
Wielomiany S(x) i R(x) nazywamy ilorazem i resztą
odpowiednio.
◘ Twierdzenie (Algorytm Euklidesa)
Niech K będzie ciałem, oraz P(x), Q(x) ∈ K[x], Q(x) ≠ 0 i
degP(x) ≥ degQ(x). Wtedy istnieją jednoznacznie określone
wielomiany S(x), R(x) ∈ K[x] takie, e
P(x) = Q(x)S(x) + R(x)
R(x) =0 lub degR(x) < degQ(x)
Dowód. Jeśli degP(x…
… w postaci a=xy, gdzie elementy x,y∈P są
elementami nieodwracalnymi pierścieni. Element nieodwracalny
x∈P nazywamy nierozkładalnym, gdy nie daje się rozło yć na
iloczyn czynników nieodwracalnych.
Przyklad
W pierścieni Z jedynymi liczbami nierozkładalnymi są z
dokładnością do znaku liczby pierwsze 2,3,5,7,11,...
Dwa elementy x,y∈P nazywamy stowarzyszonymi, gdy istnieje
taki element ε∈P odwracalny…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)