Algebra - wykład 9

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 791
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Algebra - wykład 9 - strona 1 Algebra - wykład 9 - strona 2 Algebra - wykład 9 - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 9       Wielomiany jednej zmiennej     ☼  Definicja   Wielomianem  stopnia    n ∈ N ∪{0}  nad  pierścieniem   K   nazywamy funkcję  P :  K  → K  określoną wzorem:  P ( x ) =  anx n +  a n -1 x n -1+… + a 1 x 1+  a 0,  gdzie  ai  ∈ K  dla  i =0,1,..., n  oraz  an  ≠ 0. Ponadto przyjmujemy,  e  funkcja  P ( x )≡0 jest wielomianem stopnia ∞. Elementy  ai  ∈ K  dla  i =0,1,..., n   nazywamy   współczynnikami  wielomianu    P ( x ).    Współczynnik  a 0 nazywamy  wyrazem wolnym , a współczynnik  an   nazywamy   najwy szym  współczynnikiem   wielomianu.    Liczbę  n  nazywamy   stopieniem wielomianu   P ( x ) i oznaczamy  przez  deg( P ).  Stopień  wielomianu  będącego  funkcją  stałą    jest  0.    ◙   Przykłady      P ( x ) = 2 x 3 – 1/3 x  +12, deg(P)=3     P ( x ) = 2 ix 7 + 3/4 x 3 – (1+4 i ) x 2 + (2-3 i ), deg(P)=7       Mówimy,  e dwa wielomiany    P ( x ) =  anx n +  a n -1 x n -1+… + a 1 x 1+  a 0 i   Q ( x ) =  bmx m +  b m -1 x m -1+…+  b 1 x +  b 0  są  równe  wtedy i tylko  wtedy, gdy  n = m  i  ai = bi   dla ka dego  i =1,2,..., n .        Oznaczymy  przez   K [ x ]    zbiór  wszystkich  wielomianów  jednej  zmiennej  x  nad pierścieniem  K .     Je eli  P ( x ),  Q ( x ) ∈ K [ x ], to mo emy w sposób naturalny określić   sumę, ró nicę i iloczyn wielomianów, mianowicie:  ( P + Q )( x ) =  P ( x )+ Q ( x )  ( P - Q )( x ) =  P ( x )- Q ( x )  ( P ⋅ Q )( x ) =  P ( x ) Q ( x ).    2    ◙   Przykłady        P ( x ) = 3 x 2+ x -5 i  Q ( x ) = 2 x +3.        Wtedy       ( P + Q )( x ) = 3 x 2+3 x -2,         ( P - Q )( x ) = 3 x 2- x -8,       ( PQ )( x ) = 6 x 3+11 x 2-7 x -15.    ◘  Twierdzenie    Zbiór   K [ x ]  wszystkich  wielomianów  nad  pierścieniem     K   względem  dodawania  i  mno enia  jest  pierścieniem  przemiennym z jednością.      ◘  Twierdzenie    Niech   P ( x ),   Q ( x )  będą  niezerowymi  wielomianami  pierścieni  K [ x ], wtedy   deg( P + Q ) ≤ max(deg P , deg Q )  deg( PQ ) = deg P +deg Q          Dowód.   Niech   P ( x )  =   anx n +   a n -1 x n -1+…  + a 1 x 1+   a 0  i     Q ( x )  =  bmx m +  b m -1 x m -1+…+  b 1 x +  b 0, gdzie  an ≠0 i  bm ≠0. Wtedy  P ( x )+ Q ( x )  =  ( as + bs ) x s +  ( a s -1+ bs -1) x s -1+…  +( a 1+ b 1) x 1+  ( a 0+ b 0),  gdzie  s =max(deg P ,  deg Q ).  Poniewa     deg( P + Q

(…)

…(P)=2, deg(Q)=1
deg(P+Q)=2 =max{deg(P), deg(Q)}
2. P(x) = 3x2+x-5 i Q(x) =-3x2 - 2x+3.
(P+Q)(x) = - x-2,
deg(P)=2, deg(Q)=2
deg(P+Q)=1 <max{deg(P), deg(Q)}=2
◘ Twierdzenie
Je eli K jest pierścieniem całkowitym, to K[x] jest równie
pierścieniem całkowitym.
Dowód. Niech P(x), Q(x) są niezerowymi wielomianami w K[x].
Wtedy deg(PG)=degP+degQ >0 i stąd wynika, e P(x)Q(x)≠0. ♦
Algorytm Euklidesa
…(x)S(x) + R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q.
Wielomiany S(x) i R(x) nazywamy ilorazem i resztą
odpowiednio.
◘ Twierdzenie (Algorytm Euklidesa)
Niech K będzie ciałem, oraz P(x), Q(x) ∈ K[x], Q(x) ≠ 0 i
degP(x) ≥ degQ(x). Wtedy istnieją jednoznacznie określone
wielomiany S(x), R(x) ∈ K[x] takie, e
P(x) = Q(x)S(x) + R(x)
R(x) =0 lub degR(x) < degQ(x)
Dowód. Jeśli degP(x…
… w postaci a=xy, gdzie elementy x,y∈P są
elementami nieodwracalnymi pierścieni. Element nieodwracalny
x∈P nazywamy nierozkładalnym, gdy nie daje się rozło yć na
iloczyn czynników nieodwracalnych.
Przyklad
W pierścieni Z jedynymi liczbami nierozkładalnymi są z
dokładnością do znaku liczby pierwsze 2,3,5,7,11,...
Dwa elementy x,y∈P nazywamy stowarzyszonymi, gdy istnieje
taki element ε∈P odwracalny…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz