To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Wielomiany Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W ( x ) = an x n + a n− 1 x n− 1 + . . . + a 1 x + a 0 , gdzie n ∈ N ∪ { 0 } , a 0 , a 1 , . . . , an ∈ R oraz an = 0 . Liczby a 0 , a 1 , . . . , an nazywamy współczynnikami wielomianu , przy czym a 0 nazywamy także wyrazem wolnym . Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy n = st.W ( x ) . Przykłady wielomianów: W ( x ) = 7 , W ( x ) = x − 5 , W ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 5 2 W szczególności: • funkcję stałą W ( x ) ≡ 0 nazywamy wielomianem zerowym , • funkcję stałą W ( x ) = a 0 , a 0 = 0 nazywamy wielomianem stopnia zero , • funkcję W ( x ) = a xn, a = 0 nazywamy jednomianem , • dwumianem nazywamy sumę dwóch jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x ) = 3 x 3 − x, W ( x ) = x 7 + 7 x 5 , • trójmianem nazywamy sumę trzech jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x ) = x 2 − x + 1 , W ( x ) = 5 x 6 + 2 x 4 + 3 x 2 . 3 Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W ( x ) , jeżeli W ( x 0) = 0 . Przykład Dla jakiej wartości parametru m wielomian W ( x ) = 4 mx 4 + 3 m 2 x 2 − x + 2 ma pierwiastek równy 1 . Przykład Dla jakiej wartości parametru m wielomian W ( x ) = m 2 x 4 + x 3 − (5 m − 1) x 2 + x + 7 ma pierwiastek równy − 1 . 4 Działania na wielomianach • Równość wielomianów Dwa niezerowe wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki, stojące przy tych samych potęgach zmiennej x , są sobie równe. • Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów (Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów wykonujemy jak działania na wyrażeniach algebraicznych) Przykład Niech dane będą wielomiany: W ( x ) = x 2 + 2 i Q ( x ) = 2 x − 1 . Obliczyć: a) ( W ( x ) − 3 Q ( x )) · Q ( x ) b) ( W ( x ) + 3 Q ( x )) · W ( x ) 5 • Dzielenie wielomianów Niech W ( x ) i Q ( x ) będą wielomianami, przy czym st.W ( x ) st.Q ( x ) i Q ( x ) nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli istnieje dokładnie jeden wielomian P ( x ) taki, że dla każdego x ∈ R spełniona jest równość W ( x ) = Q ( x ) · P ( x ) , to wielomian P ( x ) nazywamy ilorazem wielomianu W ( x ) przez Q ( x ) , tj. W ( x ) Q ( x ) = P ( x ) . O wielomianie W ( x ) mówimy wówczas, że jest podzielny przez Q ( x ) . 6 Przykład Wykonać dzielenie wielomianów:
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)