Wielomiany w matematyce

Nasza ocena:

3
Pobrań: 70
Wyświetleń: 686
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wielomiany w matematyce - strona 1 Wielomiany w matematyce - strona 2 Wielomiany w matematyce - strona 3

Fragment notatki:


1 Wielomiany Definicja Wielomianem  stopnia n  zmiennej rzeczywistej  x nazywamy funkcję W ( x ) =  an x n  +  a n− 1  x n− 1 +  . . .  +  a 1  x  +  a 0 , gdzie n ∈  N  ∪ { 0 }  ,  a 0 , a 1 , . . . , an ∈  R  oraz  an  = 0 . Liczby a 0 , a 1 , . . . , an  nazywamy  współczynnikami wielomianu , przy czym a 0 nazywamy także  wyrazem wolnym . Liczbę n nazywamy  stopniem wielomianu  i oznaczamy n  =  st.W ( x ) . Przykłady wielomianów: W ( x ) = 7  , W ( x ) =  x −  5  , W ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2  −  5 2 W szczególności: •  funkcję stałą W ( x )  ≡  0  nazywamy  wielomianem zerowym , •  funkcję stałą W ( x ) =  a 0 , a 0 = 0  nazywamy  wielomianem stopnia zero , •  funkcję W ( x ) =  a xn, a  = 0  nazywamy  jednomianem , •  dwumianem  nazywamy sumę dwóch jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x ) = 3 x 3  − x, W ( x ) =  x 7 + 7 x 5 , •  trójmianem  nazywamy sumę trzech jednomianów różnych stopni, na przykład: W ( x ) =  x 2  − x  + 1 , W ( x ) = 5 x 6 + 2 x 4 + 3 x 2 . 3 Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy  pierwiastkiem wielomianu W ( x ) , jeżeli  W ( x 0) = 0 . Przykład Dla jakiej wartości parametru m  wielomian W ( x ) = 4 mx 4 + 3 m 2 x 2  − x  + 2 ma pierwiastek równy 1  . Przykład Dla jakiej wartości parametru m  wielomian W ( x ) =  m 2 x 4 +  x 3  −  (5 m −  1) x 2 +  x  + 7 ma pierwiastek równy − 1  . 4 Działania na wielomianach •  Równość wielomianów Dwa niezerowe wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki, stojące przy tych samych potęgach zmiennej x , są sobie równe. •  Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów (Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów wykonujemy jak działania na wyrażeniach algebraicznych) Przykład Niech dane będą wielomiany: W ( x ) =  x 2 + 2  i Q ( x ) = 2 x −  1 . Obliczyć: a) ( W ( x )  −  3 Q ( x ))  · Q ( x ) b) ( W ( x ) + 3 Q ( x ))  · W ( x ) 5 •  Dzielenie wielomianów Niech W ( x ) i Q ( x ) będą wielomianami, przy czym st.W ( x ) st.Q ( x )  i  Q ( x )  nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli istnieje dokładnie jeden wielomian P ( x ) taki, że dla każdego x ∈  R  spełniona jest równość W ( x ) =  Q ( x )  · P ( x ) , to wielomian P ( x )  nazywamy  ilorazem  wielomianu  W ( x ) przez Q ( x )  , tj. W ( x ) Q ( x ) =  P ( x ) . O wielomianie W ( x )  mówimy wówczas, że jest podzielny przez Q ( x ) . 6 Przykład Wykonać dzielenie wielomianów: ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz