To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 6
W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów jako an = a · a · · · a. Możemy również zdefiniować potęgę a0 jako 1P (jeśli P
n×
posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych
potęgowanie ma następujące własności:
(1) an+m = an · am .
(2) anm = (an )m .
Podobnie można zdefiniować mnożenie elementu danego pierścienia P
przez liczby całkowite. Jeśli p ∈ P i n ∈ Z to dla n 0 mamy np =
p + p + . . . p, a dla n
(…)
… ∈ P i n ∈ Z to dla n > 0 mamy np =
p + p + . . . p, a dla n < 0 mamy np = −p − p − . . . − p i dodatkowo 0p = 0P .
n×
|n|×
Mnożenie to ma dwie poniższe własności:
(1) (n + m)p = np + mp.
(2) (nm)p = n(mp).
(3) Jeśli P posiada jedynkę to (kl)1P = (k1P )(l1P ).
Niech K będzie ciałem. Jeśli n jest najmniejszą liczbą naturalną = 0, taką
że n · 1K = 0 to mówimy że K ma charakterystykę równą n…
…, a to oznacza że w ciele K istnieje podciało izomorficzne z ciałem
liczb wymiernych.
Twierdzenie 3 Jeśli ciało K jest skończone to liczba jego elementów jest
równa pk dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej liczby naturalnej k.
Dowód Jeśli K jest ciałem skończonym to jego charakterystyka musi być
różna od zera. A więc istnieje liczba pierwsza p, taka że CharK = p. Na
podstawie poprzedniego twierdzenia istnieje podciało K1 ciała K, które jest
izomorficzne z ciałem Zp . Ciało K można traktować jako przestrzeń liniową nad K1 . Przestrzeń ta jest skończenie wymiarowa (bo liczba wektorów
jest skończona). Istnieją, zatem, wektory v1 , . . . , vk , które stanowią bazę tej
przestrzeni. To oznacza, że każdy element v ∈ K ma jednoznaczny zapis w
postaci:
v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk ,
gdzie αi ∈ K1 . A więc liczba…
…. Jeśli P ma jedynkę to P [x] też.
Niech f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn będzie wielomianem nad P i niech
an = 0P . Wtedy liczbę n nazywamy stopniem wielomianu f (x), a element
an nazywamy elementem wiodącym. Stopień wielomianu f (x) oznaczać będziemy przez st(f (x)).
Jedynym wielomianem, który nie posiada stopnia jest wielomian zerowy
f (x) = 0P .
Twierdzenie 5 Jeśli P jest dziedziną całkowitości…
… = (k1K )(l1K ) = 0 i ponieważ w K nie
ma dzielników zera to k1K = 0 lub l1K = 0. A więc jeśli n nie jest pierwsza
to nie jest najmniejszą o własności n1K = 0.
Twierdzenie 2 Jeśli K jest ciałem to istnieje podciało K1 tego ciała izomorficzne z ciałem Q lub z ciałem Zp dla pewnej liczby pierwszej p.
Dowód Niech charakterystyka ciała K będzie równa pewnej liczbie pierwszej
p. Oznaczmy przez K1 zbiór:
K1…
… wielomianu f (x) = an xn +an−1 xn−1 +
. . . a1 x + a0 przez dwumian postaci x − c. Algorytm ten nazywa się schematem Hornera.
an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 = (x−c)(bn−1 xn−1 bn−2 xn−2 +. . .+b1 x+b0 )+r
współczynniki bi oraz resztę r znajdujemy korzystając z następującej tabelki:
an
an−1
an−2
...
a1
a0
c
an
cbn−1 + an−1 cbn−2 + an−2 . . . cb1 + a1 cb0 + a0
= bn−1
= bn−2
= bn−3
= b0
=r
Przykład Podzielić…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)