1 Algebra z geometria analityczna MAP1015, MAP1016, MAP1017 Zadania dodatkowe (utrwalajace) Zadania z list dodatkowych zawieraja glownie zadania rachunkowe, ulatwiajace utrwalenie materialu poznanego na wykladzie. Sa one o roznym stopniu trudnosci. Do zadan dolaczone sa odpowiedzi. Niektore z ponizszych zadan sa mojego autorstwa, wiekszosc jednak jest zaczerpnieta lub wzorowana na zadaniach ze zbiorow zadan cytowanych na listach podstawowych. Zadania z plusem wykraczaja nieznacznie poza obowiazujacy program. Zadania z gwiazdka obowiazuja na Wydzialach: Elektrycznym, Elektroniki oraz Elektroniki Mikrosystemow i Fotoniki. Wieslaw Dudek Uwaga. Nadal obowiazuja listy podstawowe i uzupelniajace, opracowane przez prof. Krystyne Zietak. Macierze 1. Obliczyc podane iloczyny macierzy: a) 1 2 3 2 −1 −1 · 2 −3 0 −1 4 −2 3 −1 1 , b) 1 1 1 1 0 2 T · 1 2 3 0 1 2 , c) 3 −4 −5 2 −3 −3 3 −5 −1 · 3 29 2 18 0 3 , d) 1 1 1 1 1 2 3 0 · 0 1 2 3 T . 2. Dla macierzy A = 1 1 2 0 2 −1 oraz B = 2 3 1 2 1 0 obliczyc (o ile to mozliwe) podane wyrazenia: a) 2A − B, b) AB, c) ABT , d) AT B, e) A3, f) (BT A)2, g) A + B − I . 3. Obliczyc AB i BA dla macierzy: A = 1 2 3 4 1 0 1 2 , B = 3 4 1 3 0 2 1 1 . 4. Obliczyc B = AAT − 4I oraz C = AT A − 4I , gdzie A = 0 −1 1 2 1 −2 , a I jest macierza jednostkowa. 5. Wyznaczyc wszystkie macierze przemienne z macierza 1 0 0 0 2 0 0 0 3 . 6. Uzasadnic, ze iloczyn macierzy diagonalnych jest macierza diagonalna. Czy iloczyn macierzy trojkatnych gornych jest macierza trojkatna gorna? 7. Obliczyc B13 + B dla macierzy: a) 1 2 √ 3 2 − √ 3 2 1 2 , b) 0 1 1 0 0 1 0 0 1 , c) 1 0 1 0 1 0 0 0 0 . 8. Znalezc macierz rzeczywista X spelniajaca rownanie: a) 2X − 3XT = 1 0 5 4 , b) X + XT = 0 0 0 0 , c) XXT = 0 1 1 0 , d) XXT = 0 1 1 1 , e) AAT X = 3 6 1 2 , gdzie A = 1 1 −1 0 0 2 1 −2 . 2 9. Rozwiazac ponizsze rownania macierzowe: a) 1 0 1 2 1 2 · X = 1 1 , b) 2 1 2 0 · X · 2 1 3 1 = 29 12 14 6 , c) XT · 1 2 3 = 0 0 0 1 2 3 , d) X + 0 2 0 2 2 1 = 2X − 1 2 1 1 0 1 , e) 1 1 1 1 2 2 1 2 2 · X +
(…)
…
do nastepujacych macierzy:
1 2 5
2 1 1
1 2
C = 0 1 1 .
A=
,
B = 0 1 2 ,
1 1
0 0 1
1 0 1
9+ . Niech A bedzie nieosobliwa macierza stopnia n. Wyznaczenie macierzy odwrotnej A−1 jest rownoznaczne
z rozwiazaniem rownania macierzowego AX = I. To rownanie macierzowe mozna interpretowac jako n
ukladow rownan liniowych
AXi = Ei
i = 1, . . . , n,
gdzie Ei jest i-ta kolumna macierzy jednostkowej I stopnia n…
… = I , gdzie A =
1 1
0 1
1
1
. Czy X = A−1 ? Obliczyc XA.
20+ . Wyznaczanie macierzy odwrotnej A−1 metoda przeksztalcen elementarnych (metoda bezwyznacznikowa)
polega na wykonywaniu takich elementarnych operacji na wierszach macierzy [A, I], by otrzymac macierz
postaci [I, X]. Wowczas otrzymana macierz X bedzie macierza odwrotna do macierzy A. Jesli w trakcie
wykonywania przeksztalcen elementarnych okaze sie, ze otrzymanie macierzy [I, X] nie jest mozliwe,
to macierz A−1 nie istnieje. Zastosowac powyzsza metode do wyznaczenia macierzy odwrotnych do
nastepujacych macierzy:
1 2 3 1
1 −2 4
0 −1 1
−5 3 1
1 0 1 1
A = 0 1 −2 ,
B = −1 2 −1 ,
C = 2 −4 −1 ,
D=
3 1 4 1 .
0 0 1
2 −1 0
0 5 1
0 1 1 2
3
Czy wszystkie macierze odwrotne istnieja?
21. Obliczyc macierz
1 −1 T
C D dla
2
1
1
C…
… x
x 1 x
.
macierze odwrotne do danych macierzy:
x
1
.
x
1
17. Niech macierz A bedzie odwracalna. Czy rownania AX = B oraz Y A = B maja takie same
rozwiazania? Wyznaczajac odpowiednie macierze odwrotne, rozwiazac te rownania dla:
5
2
A= 1
1
1
0
2
0
−1 ,
2
1
B= 2
−2
1
0 .
1
7
3
5
18. Za pomoca macierzy dolaczonej dopelnien algebraicznych wyznaczyc macierze odwrotne
3…
… przedstawionych w
tabelce.
a
20
10
10
15
25
poniedzialek
wtorek
sroda
czwartek
piatek
b
30
30
10
10
15
c
40
20
20
20
10
d
10
70
10
10
10
Wplywy do kasy wygladaly nastepujaco: poniedzialek 350 tys., wtorek 690 tys., sroda 170 tys.,
czwartek 200 tys., piatek 205 tys. Czy na tej podstawie mozna odtworzyc cene poszczegolnych
artykulow?
Liczby zespolone
1. Znalezc liczby rzeczywiste x, y ∈ R spelniajace dane rownania:
√
√
a) x(3 − 2i) + y(4 − 5i) = 10 − 9i,
b) x(− 2 + i) + y(3 2 + 5i) = 8i,
c) x(4 − 3i)2 + y(1 + i)2 = 7 − 12i,
d) (2 + 3yi)(x − 2i) = 2 + xi,
2
x
y
2+i
4−i
e)
+
= 1,
f) x
+y
= 1 + i.
3 + i 1 − 3i
3−i
1 − 3i
2. Znalezc wszystkie liczby zespolone spelniajace dane rownania:
b) 2z + (1 + i)z + 3i = 1,
c) 4z = z 2 + 4.
a) 2z + z + 5i = 6,
3. Znalezc liczby zespolone z, u spelniajace dane uklady…
… funkcje wymierne:
2x3 + 3x2 + 4x − 3
5x − 12
2x2 − 2x + 3
;
b)
;
c)
;
a)
(x2 − 2x + 2)(x2 + 1)
(x2 − 1)(x2 + 2)
x2 − 5x + 6
d)
x3 − 8x2 − 14x − 13
x4 − x3 − 5x2 − x − 6
.
Zadania z geometrii analitycznej
1. Punkty A(3, −1, 2), B(1, 2, −4), C(−1, 1, 2) sa kolejnymi wierzcholkami rownolegloboku ABCD. Wyznaczyc wspolrzedne punktu D.
2. Czy punkty A(3, −1, 2), B(1, 2, −1), C(−1, 1, −3), D(3, −5, 3) sa…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)