To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Podstawowe tautologie rachunku kwantyfikatorów Rachunek kwantyfikatorów, podobnie jak rachunek zdań, ma swoje prawa, które nazywają się prawami rachunku kwantyfikatorów lub tautologiami rachunku kwantyfikatorów. Tautologią rachunku kwantyfikatorów jest każde takie, i tylko takie wyrażenie rachunku kwantyfikatorów, które jest schematem wyłącznie prawdziwych zdań lub funkcji zdaniowych. Niżej podamy wykaz takich właśnie najprostszych i zarazem najważniejszych tautologii rachunku kwantyfikatorów. Nie wnikając w szczegóły, powiemy tylko, że, podobnie jak tautologie rachunku zdań, zostały one wyprowadzone z określonych aksjomatów, to jest z tautologii wyjściowych za pomocą określonych reguł inferencji podobnych do tych z rachunku zdań, ale dużo liczniejszych. Dodajmy jeszcze, że każda tautologia rachunku zdań i jest zarazem tautologią rachunku kwantyfikatorów. Oprócz nich istnieją tautologie należące wyłącznie do rachunku kwantyfikatorów. Dlatego system aksjomatyczny rachunku kwantyfikatorów jest bogatszy od systemu rachunku zdań.
x P(x) → P(x) - dictu de omni (dosł.: orzekanie o wszystkim).
P(x) → x P(x) - prawo generalizacji egzystencjalnej (jeśli dowolny przedmiot posiada własność P, to istnieją przedmioty mające własność P).
x P(x) → x P(x) - prawo subalternacji (jeśli wszystkie przedmioty posiadają własność P, to istnieją przedmioty mające własność P).
Prawa zmiany zmiennych związanych:
x P(x) y P(y) x P(x) y P(y)
Prawa De Morgana dla kwantyfikatorów:
~x P(x) x ~P(x)
~x P(x) x ~P(x)
Prawa rozkładania kwantyfikatorów:
x [P(x) → Q(x)] → [x P(x) → x Q(x)] x [P(x) → Q(x)] → [x P(x) → x Q(x)]
x [P(x) Q(x)] [x P(x) x Q(x)]
x [P(x) Q(x)] → [x P(x) x Q(x)]
[x P(x) x Q(x)] → x [P(x) Q(x)]
x [P(x) Q(x)] [x P(x) x Q(x)]
Prawa przestawiania kwantyfikatorów:
[x y R(x, y)] [y x R(x, y)]
[x y R(x, y)] [y x R(x, y)]
[x y R(x, y)] [y x R(x, y)]
Przykłady formalizacji zdań z języka potocznego Poniżej podamy kilka przykładów przekształcania zdań języka potocznego w formuły rachunku kwantyfikatorów. Przykład I: „Istnieją białe gęsi.”
Zamiast „gęś” wstawiamy „G”, a zamiast „biała” - „B”.
x [G(x) B(x)] (istnieją takie x, że x jest białe i x jest gęsią).
Przykład II: „Wszyscy logicy są palaczami fajek.”
Zamiast „logik” wstawiamy „L”, a zamiast „palacz fajki” „F”.
(…)
… jest palaczem fajki).
Przykład III:
„Niektóre grzyby nie są trujące.”
Zamiast „grzyb” wstawiamy „G”, a zamiast „trujące” - „T”
x [G(x) ~T(x)] (istnieją takie x, że x jest grzybem i x nie jest trujące).
To samo zdanie możemy wyrazić również za pomocą schematu:
~x [G(x) → T(x)] (nieprawda, że dla każdego x, jeżeli x jest grzybem, to x jest trujące). …
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)