Symbolika i podstawowe schematy rachunku kwantyfikatorów Rachunek zdań ustala i formułuje prawa dotyczące relacji zachodzących między zdaniami prostymi (reprezentowanymi w nim przez zmienne zdaniowe) i między związkami tych zdań, nie biorąc pod uwagę wewnętrznej struktury tychże zdań prostych. Dlatego, chociaż oddaje nieocenione usługi, nie stanowi jednak wystarczającej podstawy dla tworzenia w pełni niezawodnych schematów rozumowania, a tym bardziej ich wystarczającej i w pełni wyczerpującej oceny. Wszak w naszym codziennym, a także w naukowym, myśleniu bardzo uważnie zwracamy uwagę na to, jak zbudowane są zdania proste, które wymyślamy, wypowiadamy, zapisujemy, czytamy i których słuchamy, a nawet bardzo często na tej właśnie podstawie sami opieramy swoje rozumowania i oceniamy poprawność rozumowania innych ludzi. Na przykład: inaczej odbieramy zdanie „człowiek jest dobry”, a jeszcze inaczej takie zdania, jak te: „każdy człowiek jest dobry”, „żaden człowiek nie jest dobra”, „niektórzy ludzie są dobrzy”, „jest taki jeden człowiek, który jest dobry”. Gdybyśmy pominęli te małe słówka, które jakże wydatnie i znacząco wpływają na znaczenie tych zdań, to możliwość formułowania pewnych myśli zostałaby bardzo poważnie ograniczona, albo wręcz uniemożliwiona. Zatem wypada, by również teorie logiki formalnej brały to pod uwagę. I jest dział logiki formalnej, który zajmuje się tymi sprawami, tzn. stosunkami logicznymi między zdaniami prostymi o określonej strukturze, które uwarunkowane są właśnie strukturą tychże zdań oraz znaczeniem, decydujących o wspomnianej strukturze, pewnych stałych logicznych. Owe stałe logiczne, które decydują o strukturze zdań prostych, nazywane są kwantyfikatorami, a cały ten dział logiki formalnej, które rozpatruje wspomniane międzyzdaniowe związki logiczne, wytyczone i regulowane przez te kwantyfikatory, zwie się rachunkiem kwantyfikatorów.
Rachunek kwantyfikatorów jest, jak się już domyślamy, teorią o szerszym zakresie niż rachunek zdań. Zawiera bowiem wszystkie wyrażenia obecne w tymże rachunku, a oprócz nich własne, nowe niejako stałe, zwane tu kwantyfikatorami i predykatami. Mamy tu więc wszystkie symbole znane u logiki zdań, tzn. zmienne zdaniowe, czyli zmienne reprezentujące zdania (p, q, r, s itd.), dalej - znaki reprezentujące spójniki (~, →, , , , , ). Pełnią one tę samą rolę, co w rachunku zdań. Oczywiście wchodzą tu także nawiasy używane w rachunku, bez których i tu nie można się obejść. Obok jednak tych znanych już symboli, znajdziemy tu takie, które są wyłączną własnością rachunku kwantyfikatorów. Są to następujące symbole:
1. Symbole w postaci małych liter: x, y, z,... - zmienne indywiduowe, reprezentujące indywidua, to jest przedmioty indywidualne, należące do określonego zbioru tychże indywiduów. W logice takim indywiduum
(…)
…, y) może stanowić schemat wyrażenia: „x jest ojcem y”. Symbol „Q” reprezentuje tu predykat oznaczający relację ojcostwa między x a y.
Formuła R(x, x) może być np. schematem wyrażenia takiego: „x jest równe x”. Litera „R” symbolizuje tu relację równości zachodzącą między indywiduami konkretnego zbioru).
To są oczywiście tylko najprostsze przykłady schematów funkcji zdaniowych rachunku predykatów. Przy okazji - nie sposób nie zauważyć, że podane funkcje zdaniowe przypominają funkcje matematyczne. Formuła P(x) jest odpowiednikiem funkcji matematycznej f(x), tyle, że tu „x” są zawsze liczby, gdy w logice za x można odnieść do każdego przedmiotu (danego zbioru tychże przedmiotów). W matematyce można równanie (2x + 4 = 10) zastąpić zapisem f(x). „f” oznacza tu określone działanie matematyczne, a „x…
…: „Niektórzy aktorzy nie są piosenkarzami”.
Rachunek kwantyfikatorów, podobnie jak rachunek zdań, ma swoje prawa, które nazywają się prawami rachunku kwantyfikatorów lub tautologiami rachunku kwantyfikatorów.
„Indywiduum” - to wyraz pochodzenia łacińskiego wyrazu individuum (niepodzielne - domyślnie: niepodzielne na mniejsze jednostki, a więc jednostkowe).
Za: B. Stanosz, op. cit., s. 46.
Tamże.
Tamże…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)