Macierze - matematyka

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1064
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Macierze - matematyka  - strona 1 Macierze - matematyka  - strona 2

Fragment notatki:

Def. Podobieństwo Macierzy: Macierz kwadratową A nazywamy  podobną  do macierzy kw. B, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P (det ≠0) taka, że  B=P-1AP, macierz P. nazywamy macierzą podobieństwa Tw : Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy b z macierzą podobieństwa P., to macierz B jest również podobna do  macierzy A z macierzą podobieństwa P-1  Dowód : B=P-1AP     *P.                PB=AP     ⇒  PB*P-1=A Def. Macierz ortogonalna: Macierz kwadratową i nieosobliwą A nazywamy ortogonalną  ⇔ A*AT =E Definicja Bazy: Układ B{e1,e2} gdzie  2 2 1; V e e ∈ są wektorami liniowo niezależnymi nazywamy bazą w przestrzeni V2 (analogicznie dla B- {e1,e2,e3} (Trzy wektory  3 2 1 , , a a a  liniowo niezależne jeżeli kombinacja  0 3 3 2 2 1 1 = + + a a a α α α Bazę B nazywamy ortonormalną gdy wszystkie wektory bazowe mają dł. równą 1 i są wzajemnie do siebie prostopadłe Macierz przejścia: Dane są dwie bazy: B{e1,e2, e3} oraz B’{e1’,e2’, e3’} w prz.V3. Z definicji bazy: B T B e e e P e e e P P P P P P P P P P e P e P e P e e P e P e P e e P e P e P e           =                     = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = → → → → → → → → → → → → 3 2 1 ' ' 3 ' 2 ' 1 ' 33 ' 32 ' 31 ' 23 ' 22 ' 21 ' 13 ' 12 ' 11 3 ' 33 2 ' 23 1 ' 13 ' 3 3 ' 32 2 ' 22 1 ' 12 ' 2 3 ' 31 2 ' 21 1 ' 11 ' 1 ; Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie ba    zy:     ' ' 3 ' 2 ' 1 3 2 1 3 2 1 1 ' ' 3 ' 2 ' 1 ; B B B B x x x P x x x x x x P x x x           ⋅ =                     =           − Def: Operacji liniowej: Operacja A: V3 →V3 (A: V2→V2) nazywamy liniową jeśli spełnia warunek: 1) ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 3 2 1 x A x A x x A V x x + = + Λ ∈  - warunek addytywności (analogiczności dla V2) 2) 3 V x ∈ Λ K ∈ Λ α ) ( ) ( x A x A α α =     -w jednorodności Def:    Operacji jednostkowej    : Operację A, która działa w V3 →V3 (lub A: V2→V2 ) nazywamy jednostkową jeżeli:

(…)

… wektor x taki,


że A( x ) = λ x . Wektor x nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wart. własnej λ przy A.
Def. Tensor o walencji 1:
Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=1, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni
jest on określony jednoznacznie za pomocą n1 liczb xi zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym
współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady:


 x1' 
 x1 
 x  = PT  x 
2' 

 2 ;
 x3'  B '
 x3  B
 
 
(xi1)=pii’xi
Def. Tensor o walencji 2:
Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=2, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni
jest on określony jednoznacznie za pomocą n2 liczb αij zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym
współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady: αij’ =pii’pjjαij
Tensor bezwładności: Jest on reprezentowany w bazie B przez macież
 m( x 2 2 + x 3 2 )

Tensor bezwładnosci masy m Zaczepionej w punkcie M(x1,x2,x3)  − mm( x( xxx))
2 1

3 1
− m ( x1 x 2 )
− m( x1 x3 ) 

2
2
m ( x1 + x 3 ) − m ( x 2 x 3 ) 
2
2
− m( x3 x 2 ) m( x1 + x 2 )
Jest to tensor symetryczny na przekątnej są to momenty bezwładności m. względem osi wyznaczonej przez wektory
bazowe:
e1 e2 e3
d x1 d x2
d x3
-moment względny x1,x2,x3
Pozostałe momenty to momenty dewiacyjne.
Def. Kwadryka:
Zbiór wszystkich punktów M(x1x2x3) o promieniach wodzących x = OM i spełniających równanie
nazywamy kwadryką tensorową tensor IB. Kwadryka tensorowa jest to pewna powierzchnia .
T
Równanie kwadryki i w postaci macierzowej: xB I B xB = 1
Postać…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz