To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ciągi funkcyjne: Def. Ciąg funkcyjny: Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. fn(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {fn (x) } który po napisaniu daje: (f1 (x) i f2 (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {fn(x)}jest określony w A, to dla każdego x0 ∈A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {fn(x0)}, który jest zbieżny lub rozbieżny. Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej: Ciąg funkcyjny {fn(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy limn→∞fn(x)-f(x) lub fn(x) ne→∞ → f(x) ⇔ Λ ε0 Λ x∈Α V s Λ ns. fn(x)- f(x)0 Vδ Λx∈A fn(x)- f(x)0 i x∈A Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła [fn(x) A ⇒ f(x)] ⇒ [fn(x) e→ f(x)] Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą Warunek Cauche’go : Na to aby ciąg fn(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Λε0 Vr że Λnr zachodzi [fn(x) - fr(x)]1 sz zbieżny; dla a ≤1 sz rozbieżny. -Szereg naprzemienny: Szereg Σ(-1)n+1an, gdzie an0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym. Def. Zbieżność szeregu liczbowego: Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej lim Sn =S ; S- suma szeregu. Def. Równość szeregów : n n n n n n n b a b a = ∧ ⇔ = ∑ ∑ ∞ = ∞ = 1 1 Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót. Def. Iloczyn przez liczbę: ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∈ = 1 1 ; n n n n R k ka a k Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu Σak pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg: ... 2 1 1 + + = + + ∞ + = ∑ n n n k k a a a który nazywamy n – resztą szeregu Σak . Tw. Jeżeli szeregi
(…)
… f’n(x) w przedziale <a,b>, Σ funkcyjny Σfn(x) jest zbieżny w
przedziale <a,b> a ponadto sz.Σf’n(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:
'
∧
x ∈ a ,b
∞
∑
n =1 f n ( x)
∞
= ∑ f n' ( x )
n =1
Def. Promień szeregu potęgowego:
Promieniem R zbieżności Σ potęgowego Σanxn nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x dla Σ ten jest Σ
zbieżnym.
Tw. Promień szeregu potęgowego:
Jeżeli istnieje granica:
lim
n→ ∞
an + 1
= λ , an ≠ 0 dla n = 1,2,...
an
lub lim
n→ ∞
an = λ
to promień zbieżności szeregu Σanxn wynosi:
R = 0 gdy λ = +∞
1
dla 0 < λ < +∞
R =
λ
R = +∞ dla λ = 0
Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:
x
∞
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału Σ pot. Σ anxn tzn. x∈(-R,R) to całka: ∫ ∑ a
0 n=0
n
t n dt =
∞
an
∑ n +1 x
n +1
n=0
przy czym pr. zb. tego szer. jest taki jak szer. wyjściowego.
Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:
x ∞
∫∑
0 n= 0
ant n dt =
x
∞
∑ ∫at
n= 0 0
n
n
∞
dt = ∑ an
n= 0
t n+ 1
n+ 1
x
0
=
∞
∑
n= 1
1
an x n + 1
n+ 1
Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb. Σ pot. Σ anxn to pochodna:
d
dx
∞
∑a
n= 0
n
xn =
∞
∑a
n =1
n
nx n −1
- promień zb. tego Σ jest taki
sam jak Σ wyjściowego.
Uzasadnienie: zał. Tw…
…)
n= 0 n
∞
(1 + x ) α = ∑
α α (α − 1)(α − 2)...(α − (n − 1))
=
n
n!
Szereg Fouriera:
Jeżeli dana jest funkcja f:<a,a+2l>→R, to szereg trygonometryczny
a0
+
2
∞
∑a ϑ
n =1
n
n
( x ) + bnψ n ( x )
gdzie:
1
l
a +2 l
1
l
a +2 l
1
l
a +2 l
a0 =
an =
bn =
∫f
( x )dx
a
∫f
( x ) cos
a
∫f
( x ) sin
a
nπ
x
dx
l
nπ
x
dx
l
nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) i będziemy…
… f(x)≠f(x0)
Lim f(x)= lim f(x)
Χ→X 0
Χ→X +
0
Χ→X 0
Χ→X +
0
Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji f. która działa w przedziale f;<a;a+2l>→R spełniająca
warunki Dirchleta, jest zbieżny w każdym punkcie przedziału <a; a+2l> przy czym w dowolnym punkcie x 0∈(a;a+2l) w
którym f. f: fest ciągła suma szeregu wynosi f(x) natomiast w punktach x 0∈(a;a+2l) w któryvh funkcja f…
… + ω2
s
s2 + ω2
n!
s n +1
Kryterium porównawcze:
Liczby Zespolone:
∞
Jeżeli zn ≤ an dla n > n0 i ∑ an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to szereg Σzn jest bezwzględnie zbieżny.
n= 1
Kryterium d’Alamberta:
Jeżeli
lim
n→ ∞
∞
zn+ 1
= g , to ∑ z n
zn
n= 1
o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.
Kryterium Cauchy’ego:
Jeżeli
∞
lim n zn = g , to ∑ z n
n→ ∞
n= 1…
…. Granicy według Cauchy‘ego:
lim f ( z ) = g ⇔ ∧ ∨
∧
ε > 0 S ( ε ) z∈ S ( z 0 ;δ )
z → z0
f ( z) − g < ε
Def. Logarytm liczby zespolonej:
Liczbę zespoloną w=u+iv nazywamy logarytmem naturalnym z liczby zespolonej z=x+iy≠0 w =ln z, jeżeli ew=z, ln
z=lnz+i(ϕ+2kπ).
Def. Pochodna funkcji zesoplonej:
Pochodną funkcji w=f(z) w punkcie z0 nazywamy granicę:
lim
∆ z→ 0
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 )
= f…
… zbieżny i równy B.
Kryterium d’Alamberta:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim a n+1/an, to szereg Σan o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<1,
natomiast rozb dla g>1.
Kryterium Cauchyego:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n√an, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1,
natomiast rozb dla g>1.
Kryterium całkowe:
Niech funkcja f(x) będzie funkcją…
…⇔
→
∧
→
→
→
y A( x ) = − x A( y )
→ →
x , y ∈V
n
Def: Wartości własne i wektory własne:
Liczbę λ nazywamy wartością własną operacji liniowej A:V 3→V3 (A: V2→V2) jeżeli istnieje niezerowy wektor x taki, że
A( x ) = λ x .Wektor x nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wart. własnej λ przy A.
Def. Tensor o walencji 1:
Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=1, nad przestrzenią V n (n=2,3) jeżeli w każdej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)