To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ekstremum funkcji
∂f
(x0 , y0 ) = 0,
∂x
∂f
(x0 , y0 ) = 0
∂y
∂2f
∂x2 (x0 , y0 )
∂2f
∂x∂y (x0 , y0 )
∂2f
∂x∂y (x0 , y0 )
2
∂2f
∂y 2 (x0 , y0 )
0
∂ f
(x0 , y0 ) 0 − minimum lokalne
∂x2
∂2f
(x0 , y0 ) 1
rozbieżny dla p ≤ 1
Kryterium porównawcze
Jeżeli 0 ≤ an ≤ bn dla każdego n ≥ n0 i
∞
∞
bn jest zbieżny, to szereg
Jeżeli szereg
n=1
∞
an jest zbieżny.
n=1
∞
an jest rozbieżny, to szereg
Jeżeli szereg
n=1
bn jest rozbieżny.
n=1
2
Kryterium d’Alemberta
an + 1
Jeżeli lim
1 to szereg
an
∞
an jest zbieżny.
n=1
∞
an jest rozbieżny.
n=1
Kryterium Cauchy’ego
∞
n
Jeżeli lim
n→∞
n→∞
an jest zbieżny.
n=1
∞
n
Jeżeli lim
|an | 1 to szereg
an jest rozbieżny.
n=1
Zbieżność szeregu naprzemiennego
∞
(−1)n+1 bn jest zbieżny.
Jeżeli lim bn = 0 to szereg
n→∞
n=1
Zbieżność bezwzględna szeregu
∞
∞
|an | jest zbieżny.
an jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg
Szereg
n=1
n=1
3
Sumy szeregów
∞
1
=1
n(n + 1)
n=1
∞
π2
1
=
n2
6
n=1
∞
1
=e
n!
n=0
∞
1
(−1)n
=
n!
e
n=0
∞
(−1)n+1
= ln 2
n
n=1
∞
π
(−1)n+1
=
2n − 1
4
n=1
Promień zbieżności szeregu potęgowego
1
R = lim √ ,
n→∞ n cn
R = lim
n→∞
4
cn
cn+1
Szeregi Maclourina
∞
1
=
xn
1 − x n=0
∞
ex =
xn
n!
n=0
∞
sin x =
(−1)n 2n+1
x
(2n + 1)!
n=0
∞
cos x =
(−1)n 2n
x
(2n)!
n=0
∞
ln(1 + x) =
(−1)n n+1
x
n+1
n=0
∞
arctan x =
(−1)n 2n+1
x
2n + 1
n=0
∞
sinh x =
x2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞
cosh x =
x2n
(2n)!
n=0
Sumy szeregów potęgowych
∞
xn =
n=0
∞
1
1−x
nxn =
n=1
∞
x
(1 − x)2
n2 xn−1 =
n=1
∞
1+x
(1 − x)3
xn
= − ln(1 − x)
n
n=1
∞
1−x
xn
=1+
ln(1 − x)
n(n + 1)
x
n=1
∞
x2n−1
1 1+x
= ln
2n − 1
2 1−x
n=1
5
Tożsamości trygonometryczne
cos(x − y) + cos(x + y)
2
cos(x − y) − cos(x + y)
sin x · sin y =
2
sin(x − y) + sin(x + y)
sin x · cos y =
2
sin(2x)
sin x · cos x =
2
sin(x + y − z) + sin(y + z
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)