Wzory z analizy matematycznej - ćwiczenia

Nasza ocena:

3
Pobrań: 98
Wyświetleń: 637
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wzory z analizy matematycznej - ćwiczenia - strona 1 Wzory z analizy matematycznej - ćwiczenia - strona 2 Wzory z analizy matematycznej - ćwiczenia - strona 3

Fragment notatki:

Ekstremum funkcji
∂f
(x0 , y0 ) = 0,
∂x
∂f
(x0 , y0 ) = 0
∂y
∂2f
∂x2 (x0 , y0 )
∂2f
∂x∂y (x0 , y0 )
∂2f
∂x∂y (x0 , y0 )
2
∂2f
∂y 2 (x0 , y0 )
0
∂ f
(x0 , y0 ) 0 − minimum lokalne
∂x2
∂2f
(x0 , y0 ) 1
rozbieżny dla p ≤ 1
Kryterium porównawcze
Jeżeli 0 ≤ an ≤ bn dla każdego n ≥ n0 i


bn jest zbieżny, to szereg
Jeżeli szereg
n=1

an jest zbieżny.
n=1

an jest rozbieżny, to szereg
Jeżeli szereg
n=1
bn jest rozbieżny.
n=1
2
Kryterium d’Alemberta
an + 1
Jeżeli lim
1 to szereg
an

an jest zbieżny.
n=1

an jest rozbieżny.
n=1
Kryterium Cauchy’ego

n
Jeżeli lim
n→∞
n→∞
an jest zbieżny.
n=1

n
Jeżeli lim
|an | 1 to szereg
an jest rozbieżny.
n=1
Zbieżność szeregu naprzemiennego

(−1)n+1 bn jest zbieżny.
Jeżeli lim bn = 0 to szereg
n→∞
n=1
Zbieżność bezwzględna szeregu


|an | jest zbieżny.
an jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg
Szereg
n=1
n=1
3
Sumy szeregów

1
=1
n(n + 1)
n=1

π2
1
=
n2
6
n=1

1
=e
n!
n=0

1
(−1)n
=
n!
e
n=0

(−1)n+1
= ln 2
n
n=1

π
(−1)n+1
=
2n − 1
4
n=1
Promień zbieżności szeregu potęgowego
1
R = lim √ ,
n→∞ n cn
R = lim
n→∞
4
cn
cn+1
Szeregi Maclourina

1
=
xn
1 − x n=0

ex =
xn
n!
n=0

sin x =
(−1)n 2n+1
x
(2n + 1)!
n=0

cos x =
(−1)n 2n
x
(2n)!
n=0

ln(1 + x) =
(−1)n n+1
x
n+1
n=0

arctan x =
(−1)n 2n+1
x
2n + 1
n=0

sinh x =
x2n+1
(2n + 1)!
n=0

cosh x =
x2n
(2n)!
n=0
Sumy szeregów potęgowych

xn =
n=0

1
1−x
nxn =
n=1

x
(1 − x)2
n2 xn−1 =
n=1

1+x
(1 − x)3
xn
= − ln(1 − x)
n
n=1

1−x
xn
=1+
ln(1 − x)
n(n + 1)
x
n=1

x2n−1
1 1+x
= ln
2n − 1
2 1−x
n=1
5
Tożsamości trygonometryczne
cos(x − y) + cos(x + y)
2
cos(x − y) − cos(x + y)
sin x · sin y =
2
sin(x − y) + sin(x + y)
sin x · cos y =
2
sin(2x)
sin x · cos x =
2
sin(x + y − z) + sin(y + z ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz