8 stron wyczerpującej notatki z matematyki - definicje ciągów i szeregów, twierdzenia, dowody, wzory. W treści notatki pojawiają się następujące pojęcia i terminy: ciąg funkcyjny, zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej, Warunek Cauchy?ego, szereg Dirchleta, zbieżność szeregu liczbowego, równość szeregów, iloczyn przez liczbę, N-reszta szeregu, warunek konieczny zbieżności szeregu, kryterium porównawcze, kryterium d?Alamberta, Kryterium Cauchy'ego, kryterium całkowe, kryterium Leibniza, kryterium Weierstrassa, bezwzględna zbieżność szeregu, iloczyn Caychy?ego szeregów, całkowanie szeregu funkcyjnego, różniczkowanie szeregu funkcyjnego, promień szeregu potęgowego, promień szeregu potęgowego, całkowanie szeregu potęgowego, różniczkowanie szeregu potęgowego, twierdzenie o reszcie Taylora, rozwinięcie w szereg Taylora, szereg Fouriera, szereg trygonometryczny, warunki Dirchleta, trygonometryczny szereg Fouriera. W notatce pojawiają się także definicje i wzory dotyczące algebry liniowej. Można znaleźć takie pojęcia jak macierz ortogonalna, definicja bazy, wektory liniowo niezależne, macierz przejścia, zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy, definicja operacji liniowej, definicja operacji jednostkowej, macierz operacji jednostkowej, definicja operacji symetrycznej, definicja operacji antysymetrycznej, wartości własne i wektory własne, kwadryka, tensor o walencji 2, tensor o walencji 1, tensor bezwładności, funkcja Heviside?a, rachunek operatorów, przekształcenie Laplace?a, twierdzenie o podobieństwie, klasy oryginałów, twierdzenie o tłumieniu. Omówiono też temat liczb zespolonych: warunek konieczny i dostateczny, definicja granicy według Heinego, Cauchy'ego, pochodna funkcji zespolonej, holomorficzność funkcji w punkcie, holomorficzność funkcji w obszarze D, twierdzenie Cauchy?ego-Riemana, rozwinięcia funkcji, warunek konieczny aby f(z) miała pochodną.
Def. Ciąg funkcyjny:
Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. fn(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {fn (x) } który po napisaniu daje: (f1 (x) i f2 (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {fn(x)}jest określony w A, to dla każdego x0∈A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {fn(x0)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.
Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:
Ciąg funkcyjny {fn(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy limn→∞fn(x)-f(x) lub fn(x) ne→∞→ f(x) ⇔ Λε>0Λx∈Α VsΛn>s. fn(x)- f(x)<ε oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: Λfn(x) A⇒f(x) ⇔ Λε>0 VδΛx∈A fn(x)- f(x)<ε
Dla zb. zwykłej liczba δ ma istnieć dla każdego ε>0 i x∈A
Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła [fn(x) A⇒ f(x)] ⇒ [fn(x) e→ f(x)]
Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą Warunek Cauche'go:
Na to aby ciąg fn(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Λε>0 Vr że Λn>r zachodzi [fn(x)- fr(x)]<ε
-Szereg geometryczny:
Saqn-1 lub Saqk
1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0
2. Jeżeli a≠0 to szer. geom. -dla q<1 szer. geom. zb. i S=a/1-q
-dla q≥1 szer. geom. rozb.
-Szereg Dirchleta: S1/na , a∈R, dla α>1 sz zbieżny; dla a ≤1 sz rozbieżny.
-Szereg naprzemienny: Szereg Σ(-1)n+1an, gdzie an>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym.
Def. Zbieżność s
(…)
… dla g>1.
Kryterium Cauchyego:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n√an, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium całkowe:
Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x≥ n0∈N wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n0∫∞ f(x)dx
Kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg {an…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)