Szeregi Fouriera: 1. Szereg trygonometryczny: 2. Współczynniki Eulera-Fouriera: Szereg trygonometryczny o współczynnikach Eulera-Fouriera jest szeregiem Fouriera. 3. Charakter zbieżności szeregów Fouriera: Twierdzenie Dirichleta:...
Szeregi potęgowe 12) Szeregiem potęgowym o środku w i współczynnikach nazywamy szereg postaci: , gdy =0: . Zbieżność: a) - zbieżny - zbieżny bezwzględnie dla b) -zbieżny - jednostajnie zbieżny dla c) a c -zbieżny bezwzględnie na (-R,R) ...
Zastosowanie rachunku całkowego do geometrii, mechaniki i fizyki Długość krzywej. Krzywe prostowalne . Obliczanie długości krzywej Mamy dane: Na krzywej obieramy kilka punktów. Definiujemy długość krzywej jako , gdzie P to zbiór długości wszystkich łamanych wpisanych w krzywą. Jeżeli L jest lic...
ANALIZA - ZESTAW nr 6 (WMS, rok 2, gr. 4, sem. letni 2011-2012) 1. Wyznaczyć funkcje graniczne i zbadać charakter zbieżności następują- cych ciągów funkcyjnych: a) fn(x) = x 1 + n2x2 ; b) fn(x) = x n2 + x2 ; c) fn(x) = nx n2 + x2 ; d) fn(x)...
CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f (x) = 1 + x (1 − x)3 . Wykorzystując ten rozkład znaleźć sumę szeregu 1 + 4 2 + · · · + n2 2n−1 + · · · . 2. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje: a) f (x) = 1 x − 1 ; b) f (x) = ln (1 + x); c) f (x) = e −x2 ; d) f (x...
ANALIZA - ZESTAW nr 8 (WMS, rok 1, gr. 4, sem. letni 2011-2012) 1. Obliczyć granice: a) lim (x,y)→(0,0) x2 − y2 x2 + y2 ; b) lim (x,y)→(0,0) (x + y) sin 1 x sin 1 y ; c) lim (x,y)→(0,0) x2y x2 + y2 ; d) lim (x,y)→(0,0) x2 + y2 x2 + y2 + 1 − 1 ; e) lim (x,y)→(0,0) sin (x3 + y3) x2 + y2 ; f ) lim (...
ANALIZA - ZESTAW nr 10 (WMS, rok 1, gr. 4, sem. letni 2011-2012) 1. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji u = f (x, y, z) w punkcie P0 w kierunku l, mając dane: a) u = xyz, P0 = (1, 1, 1), α = π 3 , β = π 3 , γ = 3 4 π; b) u = xy 2 − ...
ANALIZA - ZESTAW nr 1 (WMS, rok 1, gr. 4) 1. Obliczyć następujące całki: a) 1 − x 1 − 3 √ x dx; b) x4 x2 + 1 dx; c) cos 2x cos x − sin x dx; d) 2x − 5x 10x dx. 2. Obliczyć całki: a) (|x| + 1)dx; b) min{x, x 2}dx; c) arctan |x|dx; d) e |x|dx. 3. Stosując wzór na
ANALIZA - ZESTAW nr 2 (WMS, rok 1, gr. 4, sem. letni) 1. Wyznaczyć niżej wypisane całki z funkcji trygonometrycznych: a) sin 3 x cos3 xdx; b) sin 6 x cos5 xdx; c) sin 4 x cos2 x dx; d) tan 5 xdx; e) 1 tan x cos 2x dx; f ) cos x ...
ANALIZA - ZESTAW nr 3 (WMS, rok 1, gr. 4, sem. letni) 1. Obliczyć podane całki: a) 1 0 x − 1 x + 1 dx; b) 9 0 1 x2 + 9 dx; c) e 1/e ln xdx; d) π 0 sin 2 x cos xdx; e) π/2 0 e 2x cos xdx; f ) 1 0 x √ 1 + xdx; g) 1/2 0 1 + x 1 − x dx; h) 3 0 √ 9 − x2dx; i) e √ e ln x x2 dx; j) 1 0 x 2e2xdx; k) π/4 ...
