To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zastosowanie rachunku całkowego do geometrii, mechaniki i fizyki Długość krzywej. Krzywe prostowalne . Obliczanie długości krzywej Mamy dane:
Na krzywej obieramy kilka punktów.
Definiujemy długość krzywej jako , gdzie P to zbiór długości wszystkich łamanych wpisanych w krzywą. Jeżeli L jest liczba skończoną to krzywą nazywamy prostowalną lub rektyfikowaną .
Wtedy zachodzi związek:
Dla przypadku ogólnego : Gdy: to Wyrażenie pola za pomocą całki Dla (rys.1) pole zawarte pod wykresem wynosi: co jest równoważne Dla (rys.2) Dla (rys.3) Gdy funkcja ograniczająca jest podana za pomocą współrzędnych parametrycznych: , z pierwszego równania wyliczamy t i wstawiamy do drugiego wtedy: czyli Dla współrzędnych biegunowych Wzór na objętość bryły Względem osi OX: Względem osi OY: Pole powierzchni obrotowej Względem osi OX: Względem osi OY: Wyznaczenie momentów statystycznych i środka ciężkości krzywej Moment statyczny M punktu materialnego o masie m względem osi jest równy .
W przypadku n punktów materialnych leżących na tej samej płaszczyźnie co oś w odległościach i o masach moment statyczny wyraża się wzorem .
Obliczamy M względem osi OX i OY masy rozłożonej względem krzywej . Zakładamy, że krzywa jest jednorodna, tzn. że jej gęstość liniowa w każdym punkcie jest stała. Niech . Przy tych założeniach masa dowolnego łuku elementarnego , bo . Patrzymy na ds jako na punkt materialny. Obliczamy moment statyczny według wzoru klasycznego względem OX: . Do obliczeń należy zadać krzywą parametrycznie:
Przypadek 1: Przypadek 2: (ze względu na długość)
Znając momenty statyczne łatwo wyznaczyć środki ciężkości krzywej .
Punkt c ma własność taką, że jeśli skoncentrować w nim całą masę to moment statyczny tego punktu względem osi jest taki sam jak moment statyczny krzywej względem tej osi. Masa krzywej wynosi: czyli Stąd
Przypadek 1:
Przypadek 2:
Przypadek 3: Wtedy zachodzą równości: Łatwo zauważyć, że Momenty statyczne figury płaskiej
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)