To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f (x) = 1 + x (1 − x)3 . Wykorzystując ten rozkład znaleźć sumę szeregu 1 + 4 2 + · · · + n2 2n−1 + · · · . 2. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje: a) f (x) = 1 x − 1 ; b) f (x) = ln (1 + x); c) f (x) = e −x2 ; d) f (x) = x 1 + x − 2x2 . 3. Funkcję f (x) = sgn(x) (−π
(…)
… CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
f (x) =
1+x
.
(1 − x)3
Wykorzystując ten rozkład znaleźć sumę szeregu
1+
n2
4
+ · · · + n−1 + · · · .
2
2
2. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
1
;
x−1
b) f (x) = ln (1 + x);
a) f (x) =
2
c) f (x) = e−x ;
d) f (x) =
x
.
1 + x − 2x2
3. Funkcję f (x) = sgn(x) (−π < x < π) rozwinąć w szereg Fouriera, a
następnie znaleźć sumę szeregu
+∞
n=0
(−1)n
.
2n + 1
4. Niech f : R → R będzie funkcją okresową o okresie 2π, przy czym
f (x) = − π dla x ∈ (−π, 0), f (x) = π dla x ∈ (0, π) oraz f (0) =
4
4
f (π) = f (−π). Rozwinąć funkcję f w szereg Fouriera.
5. Korzystając z poprzedniego zadania wyprowadzić wzór Leibniza:
π
1 1 1
= 1 − + − + ··· .
4
3 5 7
6. Niech f (x) = |x| dla x ∈ [−π, π] oraz niech f będzie funkcją okresową
o okresie 2π. Rozwinąć tę funkcję w szereg Fouriera.
7. Korzystając z poprzedniego zadania wyprowadzić wzór Eulera:
π2
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + ··· .
6
2
3
4
8. Rozwinąć w szereg Fouriera:
a) f (x) = x2 dla x ∈ [−π, π];
b) f (x) = ex dla x ∈ (−π, π);
c) f (x) = x(π − x) dla x ∈ (−π, π).
Określić te funkje poza podanymi przedziałami.
9. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = ex w przedziale (0, 2π).
10…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)