1 Rok Biologii Matematyka -lista 1 1.10.2010 1. Które z nast˛epujacych liczb s ˛ a liczbami wymiernymi: (a) √ 2; (b) √ 256; 2. Dla danych a, b ∈ R funkcj˛e liniow ˛ a f definiujemy wzorem: f ( x ) = ax + b. (1) Współczynnik a na...
1 Rok Biologii Matematyka -lista 2 11.10.2010 1. Oblicz: (a) log 2 64; (b) log 8 32; (c) log 2 √ 2; (d) 2 log4 3 2. W jaki sposób mo˙zna „otrzyma´c” wykres funkcji f ( x ) = log 10 x z wykresu funkcji g ( x ) = log 2 x ? Wskazówka M...
1 Rok Biologii Matematyka -lista 3 25.10.2010 1. Oblicz pole figury ograniczonej wykresem funkcji f ( x ) = x 3 , oraz prostymi: x = 1 oraz y = 0 . Wskazówka. Wyra´z pole j...
1 Rok Biologii Matematyka — lista 4 8.11.2010 1. Uzasadnij, ˙ze funkcja f ( x ) = |x| nie jest ró˙zniczkowalna w punkcie x 0 = 0. Uwaga Warto´s´c bezwgl˛edna |x| dla x ∈ R zdefiniowana jest wzorem: |x| = x, x 0; −x x 0 i b = ln a . Chcemy znale´z´c: 1 Rok Biologii Matematyka —...
Zbiory liczbowe i funkcje— wykład 1 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zale˙zno´sci funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku — opis zjawisk takich jak: • ruch jednostajnie przy´spieszony; Droga s , jak ˛ a przemierzy kulka ołowiana upusz- czon...
Ci ˛ agi liczbowe— wykład 2 Definicja 1 (ci ˛ agu liczbowego). Ci ˛ agiem liczbowym nazywamy funkcj˛e ozdwzorowu- j ˛ ac ˛ a zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Warto´s´c tej funkcji dla
Granica ci ˛ agu — wykład 3 Poj˛ecie granicy ci ˛ agu Rozwa˙zmy ci ˛ ag ( an ) okre´slony przez an = 1 n . Dla dowolnego ε 0 wszystkie, z wyjatkiem co najwy˙zej sko´nczonej liczby, wyrazy tego ci ˛ agu nale˙z ˛ a do epsilonowego otoczenia zera (0 − ε, 0 + ε ) dla dowolnego ε . Zamiast w...
Granica funkcji — wykład 4 Problem — obliczanie pr˛edko´sci chwilowej Droga s , jak ˛ a przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wie˙zy po czasie t : s = gt 2 2 , gdzie g = 9 , 81 m s 2 . Chcemy znale´z´c pr˛edko´s´c kulki w...
Pochodna funkcji — wykład 5 Funkcja logistyczna Rozwa˙zmy funkcj˛e logistyczn ˛ a y = f 0( t ) = 40 1+5 e− 0 , 5 t Funkcja f mo˙ze by´c wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren ku- kurydzy (zmienna t oznacza´c mogłaby oznacza´c czas
Wykład 6: Pochodna funkcji — zastosowania Funkcja logistyczna Rozwa˙zamy funkcj˛e logistyczn ˛ a y = f 0( t ) = 40 1+5 e− 0 , 5 t −5 0 5 10 15 0 10 20 30 40 t f(t) Rysunek 1: Wykres funkcji y = f 0( t ) = 40 1+5 e− 0 , 5 t Chcemy znale´z´c punkt, w którym tempo wzrostu funkcji f „przestaj...
