Zbiory liczbowe i funkcje— wykład 1 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zale˙zno´sci funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku — opis zjawisk takich jak: • ruch jednostajnie przy´spieszony; Droga s , jak ˛ a przemierzy kulka ołowiana upusz- czona z wysokiej wie˙zy po czasie t : s = gt 2 2 , gdzie g ≈ 9 , 81 m s 2 ; • eliptyczne trajektorie, po których poruszaj ˛ a si˛e planety; • wychylenie wahadła w zale˙zno´sci od czasu (przy małym k ˛ acie wychylenia pocz ˛ at- kowego). Poj˛ecie funkcji Kluczowym poj˛eciem w analizie matematycznej (i naszym kursie) jest poj˛ecie funkcji. Definicja 1. Niech b˛ed ˛ a dane dwie zmienne x i y o obszarach zmienno´sci X i Y. Zmienna f jest funkcj ˛ a zmiennej x w jej obszarze zmienno´sci X je´sli istnieje prawo przypisuj ˛ ace ka˙zdej warto´sci x dokładnie jedn ˛ a warto´s´c y z (z Y ). Obszar zmienno´sci X mo˙ze by´c np. przedziałem lub podzbiorem płaszczyzny. Zastosowania całki oznaczonej— pole trapezu krzywoliniowego Figur˛e ograniczon ˛ a: wykresem funkcji f, gdzie f jest funkcj ˛ a ci ˛ agł ˛ a na przedziale [ a, b ] , prostymi x = a, x = b oraz prost ˛ a y = 0 b˛edziemy nazwywa´c trapezem krzy- woliniowym. Pole (wy˙zej okre´slonego) trapezu krzywoliniowego: całka na przedziale [ a, b ] z f : notacja b a f ( x ) dx . Przypadek funkcji przyjmuj ˛ acej warto´sci dodatnie i ujemne Dla funkcji ci ˛ agłej, która przyjmuje warto´sci zarówno dodatnie jak i ujemne, (załó˙z- my, ˙ze f zmienia znak sko´nczon ˛ a liczb˛e razy na [ a, b ]) całka na przedziale [ a, b ] z f b a f ( x ) dx jest równa ró ˙znicy sumy pól trapezów odpowiadaj ˛ acych warto´sciom nie- ujemnym f i sumy pól odpowiadaj ˛ acych warto´sciom ujemnym f . Odpowiedni ˛ a ilu- stracj˛e mo˙zna znale´z´c na stronie http://pl.wikipedia.org/wiki/Całka. 1 x y y = f (x) 0 a b Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy Droga w ruchu zmiennym jako całka Droga s ( t 0) przebyta przez ołowian ˛ a kulk˛e (lub punkt materialny) upuszczon ˛ a z wy- sokiej wie˙zy: s ( t 0) = gt 2 0 2 mo˙ze by´c wyra˙zona jako całka t 0 0 v ( t ) dt = t 0 0 gt dt. W podobny sposób mo˙zemy wyrazi´c drog˛e przebyt ˛ a przez punky materialny gdy v nie jest funkcj ˛ a liniow ˛ a t (zakładaj ˛ ac ˙ze f jest ci ˛ agła). Tematyka wykładów 1. Elementy analizy -poj˛ecie funkcji; poj˛ecie ci ˛
(…)
… zbioru X.
√
Przykład. Dla funkcji f : [−1, 1] → R okre´lonej wzorem f (x) = 1 − x2 wys
´
kresem jest „górna połówka okr˛ gu” o srodku w poczatku układu współrz˛ dnych i o
e
˛
e
promieniu 1
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
x
Rysunek 2: Wykres funkcji f (x) =
√
1 − x2
Definicje podstawowych funkcji elementarnych
˙
W ksiazkach D. i M. Zakrzewskich [ZZ00], D. i M. Zakrzewskich i T. Zaka [ZZZ05] i
˛˙
˙
D. Wrzoska [Wrz08] mozna znale´ c definicje podstawowych funkcji elementarnych:
z´
˙
• funkcji liniowej: [ZZ02, rozdz. 2.3]; [ZZZ05, str. 36], [Wrz08, str. 68]
˙
• wielomianu: [ZZ02, rozdz. 4.1]; [ZZZ05, str. 58], [Wrz08, str. 73]
˙
• funkcji pot˛ gowej: [ZZ02, rozdz. 6]; [ZZZ05, str. 222], [Wrz08, str. 70,73],
e
• funkcji wykładniczej i logarytmicznej: [ZZ02, rozdz. 6];[Wrz08, str. 73–76] ,
˙
• funkcji trygonometrycznych…
…. Wydawnictwo Szkolne
PWN, Warszawa 2000.
˙
[ZZZ05]
˙
Zakrzewscy, D. i M. Zak, T. Matematyka. Matura na 100 %. Wydawnictwo
Szkolne PWN, Warszawa 2005.
2
Zbiory liczbowe
Zbiór liczb naturalnych, całkowitych,...
N = {1, 2, . . .} : zbiór liczb naturalnych;
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} :- zbiór liczb całkowitych;
Q- zbiór liczb wymiernych:
Q=
p
: p ∈ Z, q ∈ N ;
q
R- zbiór liczb rzeczywistych…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)