Estymacja parametrów Wykład 2 Wrocław, 28 lutego 2013 Estymacja parametrów Próba losowa Definicja. Wektor zmiennych losowych ( X 1, X 2, ..., Xn ) nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f ( x ) (dystrybuancie F ( x ) ) jeśli X 1, X 2, ..., Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie z gęstością f ( x ) (z dystrybuantą F ( x )). Przy tak przyjętej definicji rozkład próby losowej X 1, X 2, ..., Xn ma gęstość łączną f ( x 1, x 2, ..., xn ) i dystrybuantę łączną odpowiednio postaci f ( x 1, x 2, ..., xn ) = f ( x 1) f ( x 2) · · · f ( xn ) = n i =1 f ( xi ). oraz F ( x 1, x 2, ..., xn ) = F ( x 1) f ( x 2) · · · F ( xn ) = n i =1 F ( xi ). Estymacja parametrów Próba losowa Definicja. Wektor zmiennych losowych ( X 1, X 2, ..., Xn ) nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f ( x ) (dystrybuancie F ( x ) ) jeśli X 1, X 2, ..., Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie z gęstością f ( x ) (z dystrybuantą F ( x )). Przy tak przyjętej definicji rozkład próby losowej X 1, X 2, ..., Xn ma gęstość łączną f ( x 1, x 2, ..., xn ) i dystrybuantę łączną odpowiednio postaci f ( x 1, x 2, ..., xn ) = f ( x 1) f ( x 2) · · · f ( xn ) = n i =1 f ( xi ). oraz F ( x 1, x 2, ..., xn ) = F ( x 1) f ( x 2) · · · F ( xn ) = n i =1 F ( xi ). Estymacja parametrów Przykład. Łączny rozkład f ( x 1, x 2, ..., xn ) próby losowej z rozkładu wykładniczego z parametrem β jest postaci f ( x 1, x 2, ..., xn |β) = n i =1 f ( xi |β) = n i =1 1 β e − xi /β = 1 β n e −( x 1+...+ xn )/β . Estymacja parametrów Definicja. Niech X 1, X 2, ..., Xn będzie próbą losową rozmiaru n natomiast T ( x 1, x 2, ..., xn ) funkcją przyjmująca wartości rzeczywiste lub wektorowe, której dziedzina zawiera wartości jakie może przyjąć wektor ( X 1, X 2, ..., Xn ). Zmienną losową lub wektor losowy Y = T ( X 1, X 2, ..., Xn ) będziemy nazywać statystyką , a rozkład Y będziemy nazywać rozkładem statystyki Y . Estymacja parametrów Przykład. Maksimum z próby X ( n : n ) = max( X 1, X 2, ..., Xn ). Przykład cd. Minimum z próby X (1: n ) = min( X 1, X 2, ..., Xn ). Estymacja parametrów Przykład. Maksimum z próby X ( n : n ) = max( X 1, X 2, ..., Xn ). Przykład cd. Minimum z próby X (1: n ) = min( X 1, X 2, ..., Xn
(…)
…
¯
(Xi − X )2 .
i=1
Estymacja parametrów
Twierdzenie.
Niech x1 , ..., xn będą liczbami rzeczywistymi a
x = (x1 + x2 + ... + xn )/n ich średnią arytmetyczną. Wtedy
¯
mina
n
i=1 (xi
(n − 1)s 2 =
− a)2 =
n
i=1 (xi
n
i=1 (xi
− x 2) =
¯
− x )2 ,
¯
n
i=1
xi2 − n¯2 .
x
Estymacja parametrów
Dowód.
Pierwszą równość
n
n
(xi − a)2 =
min
a
(xi − x )2 ,
¯
i=1
i=1
otrzymujemy dodając i odejmując x
¯
n
n
(xi − a)2…
…
ma rozkład
χ2
z n − 1 stopniami swobody.
Estymacja parametrów
Rodzina wykładnicza rozkładów
W statystyce matematycznej ważną rolę odgrywają rozkłady
prawdopodobieństwa, których gęstość można przedstawić w
następującej postaci:
k
f (x|θ) = h(x)c(θ) exp
wi (θ) ti (x) .
i=1
Estymacja parametrów
Rodzina wykładnicza rozkładów
W statystyce matematycznej ważną rolę odgrywają rozkłady
prawdopodobieństwa…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)