To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
3
3.1
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej
Pojęcie funkcji
Niech X , Y będą dwoma dowolnymi niepustymi zbiorami.
Definicja 3.1 (Funkcji)
Funkcją ( odwzorowaniem ) f określoną na zbiorze X o wartościach ze zbioru Y
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego
elementu zbioru Y i oznaczamy f : X → Y . Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji
(oznaczamy Df = X ), a zbiór Y przeciwdziedziną.
Definicja 3.2 ( Obrazu funkcji)
Zbiór wszystkich wartości jakie przyjmuje funkcja f , nazywamy obrazem funkcji f i
oznaczamy f (X) .
Definicja 3.3 ( Wykresu funkcji )
Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór
{(x, y) ⊂ X × Y ) : y = f (x)}
Definicja 3.4 ( Funkcji tożsamościowej )
Funkcję idX : X → X taką, że (∀x ∈ X) idX (x) = x nazywamy
funkcją tożsamościową.
Definicja 3.5 ( Zwężenia funkcji )
Zwężeniem ( obcięciem ) funkcji f : X → Y do zbioru A ⊂ X nazywamy odwzorowanie f|A : A → Y o wartościach określonych wzorem
(∀x ∈ A) f|A (x) = f (x)
Przykład 3.1 A = 0, 2π , X = Y = R, f (x) = sin x .
Definicja 3.6 (Odwzorowania ”na”)
Funkcję f nazywamy odwzorowaniem ”na”, jeżeli f (X) = Y .
Przykład 3.2
X = R, Y = −1, 1 , f (x) = sin x .
Definicja 3.7 ( Odwzorowanie różnowartościowe)
Funkcję f nazywamy różnowartościową w zbiorze X , jeżeli dla każdej pary różnych
elementów x1 , x2 ∈ X , f (x1 ) = f (x2 ) .
Przykład 3.3 X = − π , π , Y = R, f (x) = sin x .
2 2
Definicja 3.8 (Funkcji wzajemnie jednoznacznej)
Funkcję f nazywamy wzajemnie jednoznaczną, jeżeli jest różnowartościowa i ”na”.
Przykład 3.4
X = − π , π , Y = −1, 1 , f (x) = sin x .
2 2
11
Definicja
Niech będą
Funkcję h
oznaczamy
3.9 (Funkcji złożonej)
dane dwie funkcje f : X → Y i g : Y → Z .
: X → Z taką, że (∀ x ∈ X) h(x) = g(f (x)) nazywamy funkcją złożoną i
h = g◦f.
Przykład 3.5 X = Y = Z = R , f (x) = sin x , g(y) = 2y , to h(x) = 2sin x .
Definicja 3.10 ( Funkcji odwrotnej)
Niech funkcja, f : X → Y będzie odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym.
Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f −1 : Y → X określoną następująco:
f −1 (y)) = x ⇔ f (x) = y
Przykład 3.6 Funkcję odwrotną do funkcji f (x) = sin x, X = − π , π , Y = −1, 1
2 2
oznaczamy f −1 (x) = arc sin x . Dziedziną jest X = −1, 1 ,a zbiorem wartości
Y = −π, π .
2 2
3.2
Granica funkcji
Definicja 3.11 (Punktu wewnętrznego zbioru)
Punkt x0 ∈ R jest punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
(∃ δ ∈ R+ ) : (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ A
Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A oznaczmy int A i nazywamy wnętrzem tego zbioru.
Definicja 3.12 (Punktu skupienia zbioru)
Punkt x0 nazywamy punktem skupienia zbioru A , jeśli
(∃ {xn } ⊂ A, xn = x0 ) :
lim xn = x0
n→∞
Uwaga 3.1 Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.
Definicja 3.13 (Domknięcia zbioru)
Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów złożonych z jego elementów. Oznaczamy ten zbiór A .
x0 ∈ A ⇔ (∃ {xn } ⊂ A) :
lim xn = x0
n→∞
Uwaga 3.2 Zauważmy, że A ⊂ A , ponieważ każdy element x ∈ A możemy traktować
jako granicę ciągu stałego xn = x0 .
Niech dane będą: zbiór A ⊂ R , funkcja f : A → R i x0 -punkt skupienia zbioru A .
Definicja 3.14 (Granicy funkcji w sensie Heinego)
Liczbę g ∈ R nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0 , jeżeli
(∀{xn } ⊂ A, xn = x0 ) [ lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = g]
n→∞
12
n→∞
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)