To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Granica funkcji — wykład 4 Problem — obliczanie pr˛edko´sci chwilowej Droga s , jak ˛ a przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wie˙zy po czasie t : s = gt 2 2 , gdzie g = 9 , 81 m s 2 . Chcemy znale´z´c pr˛edko´s´c kulki w danym momencie, np. dla t = 2 . Pr˛edko´s´c kulki w chwili t mo˙zemy zdefniowa´c jako liczb˛e do której zbiega iloraz s ( t + ∆ t ) − s ( t ) ∆ t gdy ∆ t zbiega do 0. Poniewa˙z s ( t + ∆ t ) − s ( t ) ∆ t = 0 , 5( gt 2 + 2 gt ∆ t + g (∆ t )2 − gt 2) ∆ t = gt + g ∆ t 2 wi˛ec intuicja podpowiada nam, ˙ze pr˛edko´s´c kulki w chwili t jest równa gt. Formalizacja problemu Problemy: • W jaki sposób mo˙zna sformalizaowa´c powy˙zsze rachunki (przy u˙zyciu poj˛ecia granicy); • W jaki sposób wykonywa´c podobne rachunki,gdy funkcja s jest bardziej skom- plikowana? Rozwi ˛ azanie tych problemów dzi˛eki: • poj˛eciom granicy funkcji i pochodnej; • „rachunkowi ró˙zniczkowemu”. Na dzisiejszym wykładzie: poj˛ecie pochodnej+ informacja o poj˛eciach: asymptoty oraz funkcji ci ˛ agłej; wykłady nast˛epne: rachunek ró˙zniczkowy i jego (wybrane) zastosowa- nia. 1 Granica funkcji Oznaczenie S ( x 0) = S ( x 0 , r ) dla pewnego r 0 Definicja 1. Niech x 0 ∈ R oraz niech funkcja f b˛edzie funkcj ˛ a okre´slon ˛ a przynajmniej na s ˛ asiedztwie S ( x 0 , r ) dla pewnego r 0. Liczba g jest granic ˛ a wła´sciw ˛ a funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy lim x→x 0 f ( x ) = g , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ci ˛ agu punktów ( xn ) z s ˛ asiedztwa S ( x 0 , r ) zbie˙znego do x 0 mamy: lim n→∞ f ( xn ) = g. Granica prawostronna, lewostronna Uwaga Je´sli w powy˙zszej definicji zamienimy „ S ( x 0 , r )” na s ˛ asiedztwo prawostronne punktu x 0 S +( x 0) = ( x 0 , x 0 + r ) dla pewnego r 0”, to otrzymamy definicj˛e granicy prawostronnej w funkcji f w punkcie x 0; granica lewostronna funkcji f mo˙ze by´c okre´slona w analogiczny sposób. Obrazowo: funkcja f ma w punkcie x 0 granic˛e wła´sciw ˛ a g , gdy jej warto´sci odpowia- daj ˛ a argumentom d ˛ a˙z ˛ acym do punktu x 0 (i ró˙znym od tego punktu) d ˛ a˙z ˛ a do liczby g . Podana przez nas definicja granicy funkcji w punkcie została sformułowana przez E. Heinego (1821-1881). Przykład Uzasadnic, ˙ze lim x→ 4 (2 x − 7) = 1 . Rozwi ˛ azanie. Niech ( xn ) b˛edzie dowolnym ci ˛ agiem spełniaj ˛ acym warunki: {xn} ⊂
(…)
… nazywamy asymptota pozioma
˛
˛
funkcji f w ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:
lim (f (x) − b) = 0.
x→∞
Analogicznie definiujemy asymptot˛ pozioma w −∞.
e
˛
Przykład. Prosta y = 0 jest asymptota pozioma funkcji wykładniczej f (x) = ( 1 )x w
˛
˛
2
+∞ bo:
1
lim [( )x − 0] = 0.
x→∞ 2
Funkcje ciagłe
˛
Definicja 3 (funkcji ciagłej w punkcie). Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f b˛ dzie
˛
e
okre´lona przynajmniej…
… i ogólnie:
z
c ˙
wszystkie funkcje elementarne sa ciagłe.
˛
Iloraz ró˙ nicowy
z
Definicja 6. Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f bedzie okre´lona przynajmniej na otos
czeniu O(x0 , r), gdzie r > 0. Ilorazem ró˙nicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadajacym
z
˛
przyrostowi ∆x, gdzie 0 < |∆x| < r, zmiennej niezale˙nej nazywamy liczb˛
z
e
∆f
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
=
.
∆x
∆x
Interpretacja geometryczna ilorazu ró˙ nicowego
z
Przypominamy: funkcj˛ postaci y = ax + b nazywamy funkcja liniowa. Współczynnik
e
˛
˛
kierunkowy a jest równy przyrostowi (zmianie) warto´ci funkcji liniowej, gdy argus
ment zostanie zwi˛ kszony o 1.
e
˙
Iloraz róznicowy jest równy współczynnikowi nachylenia funkcji liniowej, której wykresem jest prosta przechodzaca przez punkty (x0 , f (x0 )), (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)).
˛
Uwaga Prosta…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)