Granica funkcji

Nasza ocena:

5
Pobrań: 77
Wyświetleń: 1274
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Granica funkcji - strona 1 Granica funkcji - strona 2 Granica funkcji - strona 3

Fragment notatki:


Granica funkcji — wykład 5 7 listopada 2012 (ostatnie poprawki: 8 listopada 2012) Problem — obliczanie pr˛edko´sci chwilowej Droga  s , jak ˛ a przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wie˙zy po czasie  t : s  = gt 2 2 , gdzie  g  = 9 , 81 m s 2  . Chcemy znale´z´c pr˛edko´s´c kulki w danym momencie, np. dla  t  = 2 . Pr˛edko´s´c kulki w chwili  t  mo˙zemy zdefiniowa´c jako liczb˛e do której zbiega iloraz s ( t  + ∆ t )  − s ( t ) ∆ t gdy ∆ t  zbiega do 0. Poniewa˙z s ( t  + ∆ t )  − s ( t ) ∆ t = 0 , 5( gt 2 + 2 gt ∆ t  +  g (∆ t )2  − gt 2) ∆ t =  gt  +  g ∆ t 2 , wi˛ec intuicja podpowiada nam, ˙ze pr˛edko´s´c kulki w chwili  t  jest równa  gt . Poj˛ecie granicy funkcji w punkcie Dla dowolnego ci ˛ agu ( dn ) takiego, ˙ze: lim n→∞ dn →  0 , dn  = 0 dla  n ∈  N , (1) ci ˛ ag  v ( dn ) (pr˛edko´sci ´srednich na odcinku [ t, t  +  dn ]) v ( dn ) = s ( t  +  dn )  − s ( t ) dn = 0 , 5( gt 2 + 2 gtdn  +  gd 2 n − gt 2) dn =  gt  +  g dn 2 jest zbie˙zny do granicy wła´sciwej  gt . Innymi słowy,  gt  jest wspóln ˛ a granic ˛ a wszystkich ci ˛ agów  v ( dn ) takich, ˙ze ( dn ) spełnia warunki (1). Granica funkcji — definicja Oznaczenia  S ( x 0 , r ) = ( x 0  − r, x 0)  ∪  ( x 0 , x 0 +  r ) , x 0  ∈  R , r   0. S ( x 0): skrócony zapis dla „ S ( x 0 , r ) dla pewnego  r   0”. Definicja 1. Niech  x 0  ∈  R oraz niech funkcja  f  b˛edzie funkcj ˛ a okre´slon ˛ a przynajmniej na s ˛ asiedztwie S ( x 0 , r ) dla pewnego  r   0. Liczba  g  jest granic ˛ a wła´sciw ˛ a funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy lim x→x 0 f  ( x ) =  g , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ci ˛ agu punktów ( xn ) z s ˛ asiedztwa S ( x 0 , r ) zbie˙znego do x 0 mamy: lim n→∞ f  ( xn ) =  g. 1 Pr˛edko´s´c jako granica funkcji Rozwa˙zmy punkt materialny poruszaj ˛ acy si˛e wzdłu˙z osi  OX ; poło˙zenie punktu w chwili  t  b˛edziemy oznaczali przez  S ( t ). Pr˛edko´s´c chwilow ˛ a tego punktu materialnego w chwili  t 0 mo˙zna zdefiniowa´c jako: lim t→t 0 S ( t )  − S ( t 0) t − t 0 , je´sli ta granica istnieje. Tak okre´slona granica: „pochodna drogi po czasie”. Poj˛ecie pochodnej i jej zastosowania: wykłady 6-ty i nast˛epne. Dzi´s: bardziej „bezpo´srednie zastosowania”: poj˛ecia funkcji ci ˛ agłej w punkcie, nieci ˛ agłej w punkcie, asymptoty itd. Granica funkcji w  ±∞ Przypomnijmy, ˙ze Definicja 2. Mówimy, ˙ze ci ˛

(…)

… asymptota pozioma
˛
˛
funkcji f w ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:
lim (f (x) − b) = 0.
x→∞
Analogicznie definiujemy asymptot˛ pozioma w −∞.
e
˛
Przykład. Prosta y = 0 jest asymptota pozioma funkcji wykładniczej f (x) = ( 1 )x w
˛
˛
2
+∞ bo:
1
lim [( )x − 0] = 0.
x→∞ 2
Asymptota uko´na
s
˙
Definicja 6. Mówimy, ze prosta y = ax+b jest asymptota uko´na funkcji f w ∞ wtedy
˛
s ˛
i tylko wtedy, gdy
f (x)
oraz b = lim…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz