To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 6: Pochodna funkcji — zastosowania Funkcja logistyczna Rozwa˙zamy funkcj˛e logistyczn ˛ a y = f 0( t ) = 40 1+5 e− 0 , 5 t −5 0 5 10 15 0 10 20 30 40 t f(t) Rysunek 1: Wykres funkcji y = f 0( t ) = 40 1+5 e− 0 , 5 t Chcemy znale´z´c punkt, w którym tempo wzrostu funkcji f „przestaje rosn ˛ a´c”. Funkcja logistyczna—c.d. Analizuj ˛ ac wykres pochodnej y = f 0( t ) dochodzimy do wniosku, ˙ze szukany punkt jest równy w przybli˙zeniu 3 , 22 . 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 x y 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 4.2 4.6 5.0 x y 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.975 4.985 4.995 x y 3.20 3.24 3.28 4.9980 4.9990 5.0000 x y Rysunek 2: Pochodna funkcji y = f 0( t ) = 40 1+5 e− 0 , 5 t Badanie przebiegu funkcji Jest jasne, ˙ze chc ˛ ac znale´z´c szukany punkt nale˙zy zbada´c przebieg zmienno´sci funkcji f 0 . 1 Zaczniemy od przypomnienia definicji poj˛e´c zwi ˛ azanych z badaniem przebiegu funkcji takich jak: minimum lokalne, maksimum lokalne czy druga pochodna. Pochodne wy˙zszych rz˛edów Załó˙zmy, ˙ze funkcja f ma pochodn ˛ a na przedziale I. Pochodn ˛ a funkcji f na I (je˙zeli ona istnieje) b˛edziemy oznacza´c przez f (2) , (lub f ( )) pochodn ˛ a funkcji f (2) na I (je˙zeli ona istnieje) przez f (3) (lub f ( ) ) itd. Pochodne wy˙zszych rz˛edów— przykłady Dla f ( x ) = x 3 (w tym przypadku obliczamy pochodne na przedziale I = R) mamy: f ( x ) = 3 x 2 , f ( x ) = 6 x, f ( x ) = 6 , f ( n )( x ) = 0 dla n 3 . Pochodne wy˙zszych rz˛edów— przykłady Dla f ( x ) = √ x = x 1 / 2 (w tym przypadku obliczamy pochodne na przedziale I = (0 , ∞ ) mamy: f ( x ) = 1 2 x − 1 / 2 = 1 2 √ x , f ( x ) = 1 2 · ( − 1 / 2) x− 3 / 2 = − 1 4 1 x √ x , itd. Monotoniczno´s´c funkcji na przedziale Załó˙zmy, ˙ze funkcja f jest ró˙zniczkowalna na przedziale I (tzn. istnieje pochodna funkcji f na przedziale I ) . Funkcja f jest: • rosn ˛ aca, je´sli f ( x ) 0 dla x ∈ I ; • niemalej ˛ aca, je´sli f ( x ) 0 dla x ∈ I ; • malej ˛ aca, je´sli f ( x )
(…)
… jest rózniczkowalna na R. Chcac zbada´ istnienie ekstremów funkcji g
s
˛
c
znajdujemy miejsca zerowe g (x) :
g(x) =
g (x) = x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 lub x = 3.
Mamy:
g (x) > 0 dla x < 2 lub x > 3;
(5)
g (x) < 0 dla x > 2 i x < 3.
(6)
(7)
Stad funkcja g ma w punkcie x = 2 maksimum lokalne, i w punkcie x = 3 minimum
˛
lokalne.
Przykład—c.d.
Poj˛ cie funkcji wypukłej
e
40
s
Tempo wzrostu funkcji f0 (t) = 1+5e−0,5t ro…
…
ma posta´
c
abce−ct
.
(1 + be−ct )2
˙
Stad wynika, ze f jest monotoniczna na R.
˛
˙
˙
Monotoniczno´c f mozna tez uzasadni´ , opierajac si˛ na własno´ciach funkcji wykładniczej—
s´
c
˛ e
s
˙
wynika z nich, ze mianownik f jest funkcja malejaca zmiennej x.
˛
˛ ˛
f (t) =
2
Funkcja logistyczna— c.d.
Druga pochodna f ma posta´ :
c
f (t) =
abc2 e−ct (be−ct − 1)
.
(1 + be−ct )3
Mamy
f (t) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (be−ct − 1) = 0.
A wi˛ c druga pochodna znika dla t0 = ln b .
e
c
Dla funkcji f0 mamy:
ln 5
ln b
=
≈ 3,218876.
c
0,5
Intuicje geometryczne: znale´ li´my szukany punkt.
z s
Problem: jak uzasadni´ to bardziej formalnie?
c
Ekstremum lokalne
˙
Definicja 1. Mówimy, ze funkcja f (x) osiaga w punkcie x0
˛
• minimum lokalne, je˙eli warto´c funkcji f w punkcie x0 jest mniejsza od warto´ci
z
s´
s
funkcji f…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)